tìm các chữ số a và b thõa mãn : \(\frac{1}{3}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
KN
17 tháng 10 2020
2. \(BĐT\Leftrightarrow\frac{1}{1+\frac{2}{a}}+\frac{1}{1+\frac{2}{b}}+\frac{1}{1+\frac{2}{c}}\ge1\)
Đặt\(\frac{2}{a}=x;\frac{2}{b}=y;\frac{2}{c}=z\)thì \(\hept{\begin{cases}x,y,z>0\\xyz=8\end{cases}}\)
Ta cần chứng minh \(\frac{1}{1+x}+\frac{1}{1+y}+\frac{1}{1+z}\ge1\Leftrightarrow\left(yz+y+z+1\right)+\left(zx+z+x+1\right)+\left(xy+x+y+1\right)\ge xyz+\left(xy+yz+zx\right)+\left(x+y+z\right)+1\)\(\Leftrightarrow x+y+z\ge6\)(Đúng vì \(x+y+z\ge3\sqrt[3]{xyz}=6\))
Đẳng thức xảy ra khi x = y = z = 2 hay a = b = c = 1
KN
17 tháng 10 2020
3. Ta có: \(a+b+c\le\sqrt{3}\Rightarrow\left(a+b+c\right)^2\le3\)
Ta có đánh giá quen thuộc \(\left(a+b+c\right)^2\ge3\left(ab+bc+ca\right)\)
Từ đó suy ra \(ab+bc+ca\le1\)
\(A=\frac{\sqrt{a^2+1}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+1}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+1}}{a+b}\ge\frac{\sqrt{a^2+ab+bc+ca}}{b+c}+\frac{\sqrt{b^2+ab+bc+ca}}{c+a}+\frac{\sqrt{c^2+ab+bc+ca}}{a+b}\)\(=\frac{\sqrt{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}{b+c}+\frac{\sqrt{\left(b+a\right)\left(b+c\right)}}{c+a}+\frac{\sqrt{\left(c+a\right)\left(c+b\right)}}{a+b}\ge3\sqrt[3]{\frac{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}=3\)Đẳng thức xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{\sqrt{3}}\)
TN
23 tháng 8 2016
\(VT=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}\)
Ta tách VT=A+B và xét
\(A=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{1+a^2}=\text{∑}\left(3a-\frac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\text{∑}\left(3a-\frac{3ab}{2}\right)\)
\(B=\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}=\text{∑}\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge\text{∑}\left(1-\frac{b}{2}\right)\)
\(\Rightarrow VT=A+B=3+\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\text{∑}ab=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6\)
(Do \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)}=3\))
Dấu = khi a=b=c=1
23 tháng 8 2016
\(VT=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{1+a^2}+\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}\)
Ta tách VT = A + b và xét :
\(A=\frac{3a}{1+b^2}+\frac{3b}{1+c^2}+\frac{3c}{1+a^2}=\Sigma\left(3a-\frac{3ab^2}{1+b^2}\right)\ge\Sigma\left(3a-\frac{3ab}{2}\right)\)\(B=\frac{1}{1+b^2}+\frac{1}{1+c^2}+\frac{1}{1+a^2}=\Sigma\left(1-\frac{b^2}{1+b^2}\right)\ge\Sigma\left(1-\frac{b}{2}\right)\)
\(\Rightarrow VT=A+B=3+\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\Sigma ab=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{15}{2}-\frac{3}{2}=6\)( Do \(a+b+c\ge\sqrt{3\left(ab+bc+ca\right)=3}\))
Dấu = khi a = b = c = 1 .
PN
8 tháng 8 2020
đây là 1 sự nhầm lẫn đối với các bạn nhác tìm dấu = :))
Sử dụng BĐT Svacxo ta có :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ac}\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\)
\(=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{18}{2ab+2bc+2ca}\ge\frac{\left(1+\sqrt{18}\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca}\)
\(=\frac{19+\sqrt{72}}{\left(a+b+c\right)^2}=\frac{25\sqrt{2}}{1}=25\sqrt{2}\)
bài làm của e :
Áp dụng BĐT Svacxo ta có :
\(Q\ge\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}=\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\)
Theo hệ quả của AM-GM thì : \(ab+bc+ca\le\frac{\left(a+b+c\right)^2}{3}=\frac{1}{3}\)
\(< =>\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{7}{\frac{1}{3}}=21\)
Tiếp tục sử dụng Svacxo thì ta được :
\(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{1}{ab+bc+ca}+\frac{7}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{\left(a+b+c\right)^2}+21=30\)
Vậy \(Min_P=30\)đạt được khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
T
8 tháng 8 2020
Và đương nhiên cách bạn dcv_new chỉ đúng với \(k\ge2\) ở bài:
https://olm.vn/hoi-dap/detail/259605114604.html
Thực ra bài Min \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{9}{ab+bc+ca}\) khi a + b + c = 1
chỉ là hệ quả của bài \(\frac{1}{a^2+b^2+c^2}+\frac{k}{ab+bc+ca}\) khi \(a+b+c\le1\)
Ngoài ra nếu \(k< 2\) thì min là: \(\left(1+\sqrt{2k}\right)^2\)
N
2
D
28 tháng 4 2015
Gỉa sử 1 < a \(\le\) b không làm mất đi tính tổng quát của bài toán
=> \(\frac{1}{a}+\frac{1}{a}\ge\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)
=> \(\frac{2}{a}\ge\frac{1}{3}\Rightarrow6\ge a\)
=> a \(\le\)6
=> a \(\in\){2;3;4;5;6}
+) Nếu a = 2 thì \(\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{2}=\frac{2}{6}-\frac{3}{6}=\frac{-1}{6}\) (loại)
+) Nếu a = 3 thì \(\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{3}=0\)(loại)
+) Nếu a = 4 thì \(\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{4}{12}-\frac{3}{12}=\frac{1}{12}\) => b = 12 (thỏa mãn)
+) Nếu a = 5 thì \(\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{5}{15}-\frac{3}{15}=\frac{2}{15}\) => b thuộc rỗng
+) Nếu a = 6 thì \(\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{2}{6}-\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\)=> b = 6 (thỏa mãn)
Vậy (a; b) \(\in\){(4; 12); (6;6)}
ZV
2
13 tháng 3 2016
Ta có 0 < a < 10 và \(\frac{1}{a}<\frac{1}{3}\) ; \(\frac{1}{b}\) < \(\frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\)\(=\frac{b}{axb}\)\(+\frac{a}{axb}=\frac{a+b}{axb\:}=\frac{1}{3}\)
Vì \(\frac{1}{3}\) là phân số tối giản nên a chia hết cho 3 hoặc b chia hết cho 3.
Giả sử a chia hết cho 3 ,vì \(\frac{1}{a}\) < \(\frac{1}{3}\) nên a > 3 mà a < 10 do đó a = 6 hoặc = 9
Nếu a = 6 thì \(\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}\) Suy ra b = 6
Nếu a = 9 thì \(\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{9}=\frac{2}{9}\) (loại)
Vậy a = 6 ; b = 6
PV
12 tháng 4 2016
Câu 1: xy + x - y = 4
<=> (xy + x) - (y+ 1) = 3
<=> x(y+1) - (y + 1) = 3
<=> (y + 1) (x - 1) = 3
Theo bài ra cần tìm các số nguyên dương x, y => Xét các trường hợp y + 1 nguyên dương và x -1 nguyên dương.
Mà 3 = 1 x 3 => Chỉ có thể xảy ra các trường hợp sau:
* TH1: y + 1 = 1; x - 1 = 3 => y = 0; x = 4 (loại vì y = 0)
* TH2: y + 1 = 3; x -1 = 1 => y = 2; x = 2 (t/m)
Vậy x = y = 2.
Câu 2:
Ta có:
(a - b)/x = (b-c)/y = (c-a)/z =(a-b + b -c + c - a) (x + y + z) = 0
Vì x; y; z nguyên dương => a-b =0; b - c = 0; c- a =0 => a = b = c
QG
3
TN
24 tháng 5 2016
Ta có: 0<a<10 và \(\frac{1}{a}< \frac{1}{3};\frac{1}{b}< \frac{1}{3}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b}{\left(a\times b\right)}+\frac{a}{\left(a\times b\right)}=\frac{a+b}{a\times b}=\frac{1}{3}\)
Vì \(\frac{1}{3}\) là phân số tối giản nên a chia hết cho 3 hoặc b chia hết cho 3
Giả sử a chia hết cho 3, vì \(\frac{1}{a}< \frac{1}{3}\) nên a>3 mà a<10 do đó a=6 hoặc a=9.
Nếu a=6 thì \(\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\Rightarrow b=6\) .
Nếu a=9 thì \(\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{9}=\frac{2}{9}\) (loại)
Vậy a=b=6
24 tháng 5 2016
Ta có: 0<a<10 và $\frac{1}{a}<\frac{1}{3};\frac{1}{b}<\frac{1}{3}$1a <13 ;1b <13
$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{b}{\left(a\times b\right)}+\frac{a}{\left(a\times b\right)}=\frac{a+b}{a\times b}=\frac{1}{3}$1a +1b =b(a×b) +a(a×b) =a+ba×b =13
Vì $\frac{1}{3}$13 là phân số tối giản nên a chia hết cho 3 hoặc b chia hết cho 3
Giả sử a chia hết cho 3, vì $\frac{1}{a}<\frac{1}{3}$1a <13 nên a>3 mà a<10 do đó a=6 hoặc a=9.
Nếu a=6 thì $\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{6}=\frac{1}{6}\Rightarrow b=6$1b =13 −16 =16 ⇒b=6 .
Nếu a=9 thì $\frac{1}{b}=\frac{1}{3}-\frac{1}{9}=\frac{2}{9}$1b =13 −19 =29 (loại)
Vậy a=b=6
a=1
b=2
k cho chị nhé
có mà bà đỡ