Question

[Lệ Mỹ]

Cho hệ trục xOy và 2 điểm A(1;-1) và B( 6;4) và đường thẳng dental đi qua 2 điểm (-1;0) và (0;1). Tìm điểm M sao cho MA+MB nhỏ nhất

Answer 1

[Hồng Phúc]

Dễ thấy A, B nằm cùng phía so với đường thẳng \(\Delta\)

Gọi B' đối xứng với B qua \(\Delta\)

Đường thẳng BB' đi qua B và vuông góc với \(\Delta\) có phương trình:

\(x+y-10=0\)

Giao điểm H của BB' và \(\Delta\) có tọa độ là nghiệm hệ

\(\left\{{}\begin{matrix}x+y-10=0\\x-y+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{9}{2}\\y=\dfrac{11}{2}\end{matrix}\right.\Rightarrow H=\left(\dfrac{9}{2};\dfrac{11}{2}\right)\)

\(\Rightarrow B'=\left(3;7\right)\)

Phương trình đường thẳng AB' là:

\(4x-y-5=0\)

Khi đó \(MA+MB=MA+MB'\ge AB'=2\sqrt{17}\)

\(min=2\sqrt{17}\Leftrightarrow M=\Delta\cap AB'\)

\(\Rightarrow M\) có tọa độ là nghiệm hệ \(\left\{{}\begin{matrix}4x-y-5=0\\x-y+1=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=3\end{matrix}\right.\Rightarrow M=\left(2;3\right)\)

\(min=2\sqrt{17}\Leftrightarrow M=\left(2;3\right)\)