Question

[Trần Phương Trinh]

chứng tỏ : a ( a^2 +1 )(a^2 - 1 ) chia hết cho 30

trả lời nhanh giùm mình

Answer 1

[Le Thi Khanh Huyen]

Số chính phương thường có tận cùng là 0 ; 1 ; 4 ; 6 ; 9 

Nếu a² tận cùng là 0 thì a cũng tận cùng là 0 ; tức tích trên chia hết cho 5.

Nếu a² tận cùng là 1 thì a²-1 tận cùng là 0 ; tức tích trên chia hết cho 5.

Nếu a² tận cùng là 4 thì a²​+1 tận cùng là 5 ; tức tích trên chia hết cho 5.

Nếu a² tận cùng là 6 thì a²​-1 tận cùng là 5 ; tức tích trên chia hết cho 5.

Nếu a² tận cùng là 9 thì a²​+1 tận cùng là 0 ; tức tích trên chia hết cho 5.

Tóm lại, ta chắc chắn rằng a(a²-1)(a²+1) chia hết cho 5.

Giả sử a chẵn, thì tích trên chia hết cho 2.

Giả sử a lẻ, a² cũng lẻ, và a²+1 chẵn thì tích trên chia hết cho 2.

Do đó tích trên vừa chia  hết cho 2 vừa chia hết cho 5 ; (2;5)=1 nên tích chia hết cho 2 x 5 = 10.

Số chính phương luôn chia 3 dư 1 hoặc chia hết cho 3.

Nếu a² chia 3 dư 1 thì a²-1 chia hết cho 3, tích trên chia hết cho 3.

Nếu a² chia hết cho 3 thì a cũng chia hết cho 3; do đó tích trên chia hết cho 3.

Tích trên chia hết cho 10 và 3 ; mà (10;3)=1 nên nó chia hết cho 30.

Vậy \(a\left(a^2-1\right)\left(a^2+1\right)\) chia hết cho 30.

Answer 2

[soyeon_Tiểu bàng giải]

Ta có:

a.(a² + 1).(a² - 1)

= a.(a² + 1).(a - 1).(a + 1)

= (a - 1).a.(a + 1).(a² + 1)

Do (a - 1).a.(a + 1) là tích 3 số tự nhiên liên tiếp => (a - 1).a.(a + 1) chia hết cho 2 và 3

Mà (2,3)=1 => (a - 1).a.(a + 1) chia hết cho 6 (1)

Trở lại đề bài, lúc này ta phải chứng minh a.(a² - 1).(a² + 1) chia hết cho 5

Ta đã biết 1 số chính phương chia cho 5 chỉ có thể có 3 loại số dư là dư 0; 1 và 2

+ Nếu a² chia hết cho 5 => a chia hết cho 5 => a.(a² + 1).(a² - 1) chia hết cho 5

+ Nếu a² chia 5 dư 1 => a² - 1 chia hết cho 5 => a.(a² + 1).(a² - 1) chia hết cho 5

+ Nếu a² chia 5 dư 4 => a² + 1 chia hết cho 5 => a.(a² + 1).(a² - 1) chia hết cho 5

=> a.(a² + 1).(a² - 1) luôn chia hết cho 5 (2)

Từ (1) và (2), do (5,6)=1 => a.(a² + 1).(a² - 1) chia hết cho 30

=> đpcm