Cho x, y, z là các số dương có tổng bằng 1. Tìm GTNN của biểu thức: \(A=\dfrac{x+y}{xyz}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
L
1
26 tháng 4 2020
Đặt \(A=\frac{x+y}{xyz}\)
Theo bài ra có ta có các số nguyên dương x,y,z có tổng =1
=> x+y+z=1
=> \(\left[\left(x+y\right)+z\right]^2=1\). Áp dụng BĐT \(\left(a+b\right)^2\ge4ab\)ta có:
\(1=\left[\left(x+y\right)+z\right]^2\ge4\left(x+y\right)z\)
Nhân 2 vế với số dương \(\frac{x+y}{xyz}\)được
\(\frac{x+y}{xyz}\ge\frac{4z\left(x+y\right)^2}{xyz}\ge\frac{4x\cdot4xy}{xyz}=16\)
MinA=16 <=> \(\hept{\begin{cases}x+y=1\\x=y\\x+y+z=1\end{cases}\Leftrightarrow x=y=\frac{1}{4};z=\frac{1}{2}}\)
Vậy MinA =16 đạt được khi \(x=y=\frac{1}{4};z=\frac{1}{2}\)
HT
1
TM
10 tháng 9 2017
x+y+z=(x+y)+z=1 => [(x+y)+z]2=1
Ta có: \(1=\left[\left(x+y\right)+z\right]^2\ge4\left(x+y\right)z\)
Mặt khác: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
Suy ra 1.(x+y)2 \(\ge\)4(x+y)z.4xy<=>(x+y)2\(\ge\)16xyz(x+y) \(\Leftrightarrow x+y\ge16xyz\)\(\Leftrightarrow A=\frac{x+y}{xyz}\ge16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=z\\x=y\end{cases}}\) kết hợp với điều kiện ban đầu x+y+z=1,giải hệ ra <=> x=y=1/4; z=1/2
Vậy minA=16 khi x=y=1/4; z=1/2
DT
1
NM
23 tháng 6 2016
\(M=\frac{x+y}{xy}.\frac{1}{z}\ge\frac{2\sqrt{xy}}{xy}.\frac{1}{z}=\frac{2}{z\sqrt{xy}}\ge\frac{2}{z\left(\frac{x+y}{2}\right)}=\frac{4}{z\left(x+y\right)}\)
\(=\frac{4}{z\left(1-z\right)}=\frac{4}{\frac{1}{4}-\left(z-\frac{1}{2}\right)^2}\ge16\)
Min M= 16 khi z=1/2 và x=y =1/4.
KK
12 tháng 3 2018
a) x+y+z=1
⇔[(x+y)+z]2=1
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ta có
(a+b)+c ≥ 2\(\sqrt{\left(a+b\right)c}\)
⇔[(a+b)+c)]2 \(\ge4\left(a+b\right)c\)
⇔1 ≥ 4(a+b)c
nhân cả 2 vế cho số dương \(\dfrac{x+y}{xyz}\) được
\(\dfrac{x+y}{xyz}\ge\dfrac{4\left(x+y\right)^2c}{xyz}\)
⇔\(\dfrac{x+y}{xyz}\ge\dfrac{4z.4xy}{xyz}=16\)
Min A =16 khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=z\\x=y\\x+z+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{4};z=\dfrac{1}{2}}\)
\(A=\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{x+y}{xy}\right)=\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{16}{\left(x+y+z\right)^2}=16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)\)