Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
x+y+z=(x+y)+z=1 => [(x+y)+z]2=1
Ta có: \(1=\left[\left(x+y\right)+z\right]^2\ge4\left(x+y\right)z\)
Mặt khác: \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
Suy ra 1.(x+y)2 \(\ge\)4(x+y)z.4xy<=>(x+y)2\(\ge\)16xyz(x+y) \(\Leftrightarrow x+y\ge16xyz\)\(\Leftrightarrow A=\frac{x+y}{xyz}\ge16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}x+y=z\\x=y\end{cases}}\) kết hợp với điều kiện ban đầu x+y+z=1,giải hệ ra <=> x=y=1/4; z=1/2
Vậy minA=16 khi x=y=1/4; z=1/2
a) x+y+z=1
⇔[(x+y)+z]2=1
Áp dụng BĐT cô si cho 2 số ta có
(a+b)+c ≥ 2\(\sqrt{\left(a+b\right)c}\)
⇔[(a+b)+c)]2 \(\ge4\left(a+b\right)c\)
⇔1 ≥ 4(a+b)c
nhân cả 2 vế cho số dương \(\dfrac{x+y}{xyz}\) được
\(\dfrac{x+y}{xyz}\ge\dfrac{4\left(x+y\right)^2c}{xyz}\)
⇔\(\dfrac{x+y}{xyz}\ge\dfrac{4z.4xy}{xyz}=16\)
Min A =16 khi \(\left\{{}\begin{matrix}x+y=z\\x=y\\x+z+y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y=\dfrac{1}{4};z=\dfrac{1}{2}}\)
Ta có : \(1=\left[\left(x+y\right)+z\right]^2\ge4z\left(x+y\right)\)
Mặt khác : \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
Nhân hai bđt trên theo vế được \(\left(x+y\right)^2\ge16xyz\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow x+y\ge16xyz\Rightarrow\frac{x+y}{xyz}\ge16\)
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức bằng 16 \(\Leftrightarrow\begin{cases}x=y\\x+y=z\\x+y+z=1\end{cases}\)
\(\Leftrightarrow\begin{cases}x=y=\frac{1}{4}\\z=\frac{1}{2}\end{cases}\)
Có : \(x+y+z=\left(x+y\right)+z=1\)
Áp dụng BĐT Cauchy với hai số dương x + y với z có:
\(1=\left(x+y\right)+z\ge2\sqrt{\left(x+y\right)z}\Rightarrow1^2\ge4\left(x+y\right)z\)
Hay: \(1\ge4\left(x+y\right)z\Rightarrow x+y\ge4\left(x+y\right)^2z\rightarrow\left(x+y>0\right)\)
Có : \(\left(x+y\right)^2\ge4xy\)
\(\Rightarrow x+y\ge16xyz\Rightarrow\frac{x+y}{xyz}\ge16\)
Dấu "=" xãy ra khi x = y,x + y + z = 1 , x+y/xyz = 16
Giải ra ta được x = y = 1/4 , z = 1/2
\(x,y,z>0\)
Áp dụng BĐT Caushy cho 3 số ta có:
\(x^3+y^3+z^3\ge3\sqrt[3]{x^3y^3z^3}=3xyz\ge3.1=3\)
\(P=\dfrac{x^3-1}{x^2+y+z}+\dfrac{y^3-1}{x+y^2+z}+\dfrac{z^3-1}{x+y+z^2}\)
\(=\dfrac{\left(x^3-1\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)}+\dfrac{\left(y^3-1\right)^2}{\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}+\dfrac{\left(z^3-1\right)^2}{\left(x+y+z^2\right)\left(x^3-1\right)}\)
Áp dụng BĐT Caushy-Schwarz ta có:
\(P\ge\dfrac{\left(x^3+y^3+z^3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}\)
\(\ge\dfrac{\left(3-3\right)^2}{\left(x^2+y+z\right)\left(x^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)+\left(x+y^2+z\right)\left(y^3-1\right)}=0\)
\(P=0\Leftrightarrow x=y=z=1\)
Vậy \(P_{min}=0\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số thực dương \(\dfrac{xy}{z}\) và \(\dfrac{yz}{x}\) có:
\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}\) \(\ge\) 2\(\sqrt{\dfrac{xy}{z}\cdot\dfrac{yz}{x}}\) = 2\(\sqrt{y^2}\) = 2y (1)
Tương tự: \(\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\ge2z\) (2)
\(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{zx}{y}\ge2x\) (3)
Từ (1); (2); (3)
\(\Rightarrow\) \(\dfrac{2xy}{z}+\dfrac{2yz}{x}+\dfrac{2zx}{y}\ge2x+2y+2z\)
\(\Leftrightarrow\) 2\(\left(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\right)\) \(\ge\) 2(x + y + z)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{xy}{z}+\dfrac{yz}{x}+\dfrac{zx}{y}\ge x+y+z=10\)
Hay PMin = 10
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\) x = y = z = \(\dfrac{10}{3}\)
Vậy ...
Chúc bn học tốt!
Bài 1:a,
A=a/b+c + b/a+c + c/a+b = a^2/ab+ac + b^2/ab+bc + c^2/ac+bc
Áp dụng BĐT dạng Angel : A > hoặc = (a+b+c)^2/ab+ac+ab+bc+ac+bc=(a+b+c)^2/2(ab+bc+ca) > hoặc = 3(ab+bc+ca)/2(ab+bc+ca)=3/2
b,làm tt câu a
\(A=\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{x+y}{xy}\right)=\dfrac{1}{z}\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}\right)\ge\dfrac{4}{z\left(x+y\right)}\ge\dfrac{16}{\left(x+y+z\right)^2}=16\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\left(x;y;z\right)=\left(\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2}\right)\)