cho các số nguyên dương x,y,z .CMR 1 < x/(x+y) + y/(y+z) + z/(z+x) <2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
DT
1
12 tháng 6 2015
A=\(\frac{x+y-y}{x+y}+\frac{y+z-z}{y+z}+\frac{z+x-x}{x+z}\)
A=\(3-\left(\frac{x}{x+z}+\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}\right)\)
Mà :\(\frac{x}{x+z}>\frac{x}{x+y+z};\frac{x}{y+z}>\frac{y}{x+y+z};\frac{z}{x+z}>\frac{z}{x+y+z}\)
=> A < 2 (1)
Mặt khác A=\(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{x+z}\)
Mà \(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z};\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z};\frac{z}{x+z}>\frac{z}{x+y+z}\)
=>A > 1 (2)
Từ (1) và (2)=> 1 < A < 2 <=> A không phải là số nguyên
ND
4
1 tháng 8 2016
ta có : \(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\left(1\right)\); \(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{y+z+z}\left(2\right)\); \(\frac{z}{z+x}>\frac{z}{z+x+y}\left(3\right).\)
cộng vế với vế các BĐT (1), (2), (3) ta được:
\(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x+y+z}{x+y+z}=1.\)(đpcm )
1 tháng 8 2016
cái (2) gõ nhầm phím . nhé \(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{y+z+x}\)
TM
9 tháng 7 2016
Vì x,y,z là các số nguyên dương nên ta có:
\(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z};\frac{y}{y+z}>\frac{y}{y+z+x};\frac{z}{z+x}>\frac{z}{z+x+y}\)
\(\Rightarrow A=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+x}+\frac{z}{z+x+y}\)
mà \(\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{y+z+x}+\frac{z}{z+x+y}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)
=> A>1
HD
0
PT
2
VH
25 tháng 2 2021
Ta có x+y=z+t
=>y=z+t-x
=>x(z+t-x)=zt-1
=>xz+xt-x2=zt-1
=>x(z-x)=zt-xt-1
=>x(z-x)=t(z-x)-1
=>t(z-x)-x(z-x)=1
=>(t-x)(z-x)=1
TH1:
t-x=z-x=1(x;y;z;t E N sao)
=>z=t(vì =x+1)(đpcm)
TH2:
t-x=z-x=-1(vì x;y;z;t E N sao)
=>z=t(vì =x-1)(đpcm)
Vậy z=t
cho xin cảm ơn
15 tháng 9 2016
Vì x,y,z là các số dương nên : \(\frac{x}{x+y}< \frac{x+z}{x+y+z}\) ; \(\frac{y}{y+z}< \frac{y+x}{x+y+z}\) ; \(\frac{z}{z+x}< \frac{z+y}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow A< \frac{2\left(x+y+z\right)}{x+y+z}=2\) (1)
Mặt khác ta lại có : \(x+y< x+y+z\Rightarrow\)\(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\)
Tương tự : \(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z};\frac{z}{z+x}>\frac{z}{x+y+z}\)
\(\Rightarrow A>\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\) (2)
Từ (1) và (2) suy ra : \(1< A< 2\) => A không có giá trị nguyên
15 tháng 9 2016
\(A=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}\)
\(A>\frac{x+y+z}{x+y+z}\)
\(A>1\left(1\right)\)
Áp dụng \(\frac{a}{b}< 1\Leftrightarrow\frac{a}{b}< \frac{a+m}{b+m}\) (a,b,m \(\in\) N*) ta có:
\(A=\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}< \frac{x+z}{x+y+z}+\frac{x+y}{x+y+z}+\frac{z+y}{x+y+z}\)
\(A< \frac{2.\left(x+y+z\right)}{x+y+z}\)
\(A< 2\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) => 1 < A < 2
=> A không là số nguyên (đpcm)
SY
0
+) Với các số nguyên dương x, y,z ta có \(\frac{x}{x+y}>\frac{x}{x+y+z}\)
\(\frac{y}{y+z}>\frac{y}{x+y+z}\)
\(\frac{z}{z+x}>\frac{z}{x+y+z}\)
Cộng từng vế của các bđt trên ta được \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)(*)
+) ta dễ dàng chứng minh được điều sau: Cho x,y, z dương. Nếu \(\frac{x}{y}
\(\rightarrow\)Ta có: \(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}>\frac{x}{x+y+z}+\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{x+y+z}=\frac{x+y+z}{x+y+z}=1\)
\(\Rightarrow\) \(1< \frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\)
\(\rightarrow\)Tương tự như trên, ta có đẳng thức: \(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}>\frac{y}{x+y+z}+\frac{z}{y+z+x}+\frac{x}{z+x+y}=\frac{y+z+x}{y+z+x}=1\)
Mà \(\left(\frac{x}{x+y}+\frac{y}{y+z}+\frac{z}{z+x}\right)+\left(\frac{y}{x+y}+\frac{z}{y+z}+\frac{x}{z+x}\right)=3\)
Kết hợp các Bất đẳng thức trên, ta có điều phải chứng minh.