cho tam giác ABC với \(l_a,l_b,l_c\)là độ dài 3 đường phân giác kẻ từ đỉnh A,B,C . a,b,c là độ dài BC,AC,AB . CMR \(l_a+l_b+l_c\le\frac{\sqrt{3}}{2}\left(a+b+c\right)\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
do AD//CM nên \(\frac{AD}{CM}=\frac{BA}{BM}=\frac{c}{b+c}\)
mà \(CM< AM+AC=2b=>\frac{c}{bc}>\frac{AD}{2b}=>\frac{1}{l_a}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(1\right)\)
tương tự ta có
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{l_b}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{c}+\frac{1}{a}\right)\left(2\right)\\\frac{1}{l_c}>\frac{1}{2}\left(\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\left(3\right)\end{cases}}\)
cộng (1) (2) (3) zế zới zế ta được đpcm
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bài này hình như trong sách nào mà t quên ròi, ai nhớ nhắc với
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Đề viết sai, cosA/2 không phải cos1/2.
Gọi D là chân đường phân giác góc A, ta có:
\(S_{ABC}=S_{ABD}+S_{ACD}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}bc.sinA=\dfrac{1}{2}l_a.c.sin\dfrac{A}{2}+\dfrac{1}{2}l_a.b.sin\dfrac{A}{2}\)
\(\Leftrightarrow bc.sinA=l_a\left(b+c\right)sin\dfrac{A}{2}\)
\(\Leftrightarrow l_a=\dfrac{2bc.cos\dfrac{A}{2}.sin\dfrac{A}{2}}{\left(b+c\right)sin\dfrac{A}{2}}=\dfrac{2bc.cos\dfrac{A}{2}}{b+c}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Xét tam giác ABC có AB = c ; AC =a ; BC = a ; AD = x ; BE = y ; CF = z ( AD ; BE ; CF là các đường phân giác).
Kẻ đường thẳng qua C song song với AD cắt AB tại M
=> BAD^ = M^ (đồng vị)
DAC^ = ACM^ (so le trong)
Mà BAD^ = DAC^ ( AD là phân giác)
=> M^ = ACM^
=> tam giác ACM cân tại A
=> AM = AC
Xét tam giác AMC có MC < AC + AM (bất đẳng thức trong tam giác AMC)
=> MC < 2AC
Xét tam giác BMC có: AD // MC
=> tam giác BAD đồng dạng tam giác BMC (hệ quả Ta - lét)
=> AD/MC = AB/MB = AB/ (AB+AM)
=> AD = (MC. AB) / (AB+AC) < ( AB . 2AC)/(AB+AC)
=> 1/AD > (AB+AC)/(AB. 2AC)
=> 1/AD > 1/2AC + 1/2AB
=> 1/AD > 1/2.(1/AC + 1/AB)
=> 1/x > 1/2. ( 1/a + 1/c ) (1)
Chứng minh tương tự: 1/y > 1/2. (1/b + 1/c) (2)
1/z > 1/2.(1/a + 1/b) (3)
Cộng (1) (2) và (3) theo từng vế: ta có:
1/x + 1/y + 1/z > 1/2 .(1/a + 1/c + 1/b + 1/c + 1/a + 1/b )
=>1/x + 1/y + 1/z > 1/a + 1/b + 1/c
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
(AD là phân giác trong góc A)
Qua B kẽ đường thẳng // AD và cắt AC tại E
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\widehat{CAD}=\widehat{CEB}\\\widehat{DAB}=\widehat{ABE}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\widehat{CEB}=\widehat{ABE}\)
\(\Rightarrow\Delta ABE\)cân tại A
Xét \(\Delta ABE\) có \(BE< AB+AE=2AB=2c\)
Xét \(\Delta CBE\) có AD // BE
\(\Rightarrow\frac{BE}{AD}=\frac{CE}{AC}\)
\(\Rightarrow BE=\frac{CE.AD}{AC}=\frac{l_a\left(b+c\right)}{b}< 2c\)
\(\Rightarrow\frac{1}{l_a}>\frac{b+c}{2bc}=\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}\left(1\right)\)
Chứng minh tương tự ta có:
\(\hept{\begin{cases}\frac{1}{l_b}>\frac{1}{2a}+\frac{1}{2c}\left(2\right)\\\frac{1}{l_c}>\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}\left(3\right)\end{cases}}\)
Cộng (1), (2), (3) vế theo vế ta được
\(\frac{1}{l_a}+\frac{1}{l_b}+\frac{1}{l_c}>\frac{1}{2b}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2c}+\frac{1}{2a}+\frac{1}{2b}=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
Vậy \(\frac{1}{l_a}+\frac{1}{l_b}+\frac{1}{l_c}>\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
A) Lấy M là trung điểm của BC. => AM là đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A (Đoạn thẳng AM được ký hiệu thay cho m a).
AB = c; AC = b; BC = a. Kẻ BH vuông góc với AM, CK vuông góc với AM.
Ta có: a^2 = BC^2 = (BM + MC)^2 = (2.BM)^2 = 4.BM^2 = 4.CM^2.
Theo định lý Pytago => c^2 = AB^2 = BH^2 + AH^2; BM^2 = BH^2 + HM^2.
=> 2.AB^2 - 2.BM^2 = 2(AH^2 - HM^2) = 2(AH + MH).(AH - MH) = 2.AM.(AH - MH). (1)
Theo định lý Pytago => b^2 = AC^2 = CK^2 + AK^2; CM^2 = CK^2 + MK^2.
=> 2.AC^2 - 2.CM^2 = 2(AK^2 - MK^2) = 2(AK - MK).(AK + MK) = 2.AM.(AK + MK). (2)
Từ (1) + (2) => 2.AB^2 + 2.AC^2 - 2.BM^2 - 2.CM^2 = 2.AM(AH - MH) + 2.AM.(AK + MK).
=> 2.AB^2 + 2.AC^2 - 4.BM^2 = 2.AM.(AH - MH + AK + MK).
=> 2.AB^2 + 2.AC^2 - BC^2 = 2.AM.(2.AM).
=> 2.c^2 + 2.b^2 - a^2 = 4.AM^2.
Bạn thay phương trình 2.c^2 + 2.b^2 - a^2 = 4.AM^2 ở trên vào câu a để giải tiếp nhé. Mình chứng minh được gần hết rồi.