cho a,b,c là 3 cạnh của 1 tam giác có chu vi bằng 4. chứng minh rằng \(a^2+b^2+c^2< 8\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
19 tháng 10 2020
Chu vi bằng 4 nên tất cả các cạnh phải nhỏ hơn 2
suy ra a^2 +b^2 +c^2 < 2(a+b+c) =8
26 tháng 1 2021
Từ gt suy ra a < b + c nên 2a < a + b + c = 2
\(\Rightarrow a< 1\).
Chứng minh tương tự: \(b< 1;c< 1\).
Do đó \(\left(a-1\right)\left(b-1\right)\left(c-1\right)< 0\Leftrightarrow abc< ab+bc+ca-1\) (Do a + b + c = 2)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc< a^2+b^2+c^2+2\left(ab+bc+ca-1\right)=\left(a+b+c\right)^2-2=2\) (đpcm).
26 tháng 3 2020
Ta có:
a<b+ca<b+c
--> a+a<a+b+ca+a<a+b+c
--> 2a<22a<2
--> a<1a<1
Tương tự ta có : b<1,c<1b<1,c<1
Suy ra: (1−a)(1−b)(1−c)>0(1−a)(1−b)(1−c)>0
⇔ (1–b–a+ab)(1–c)>0(1–b–a+ab)(1–c)>0
⇔ 1–c–b+bc–a+ac+ab–abc>01–c–b+bc–a+ac+ab–abc>0
⇔ 1–(a+b+c)+ab+bc+ca>abc1–(a+b+c)+ab+bc+ca>abc
Nên abc<−1+ab+bc+caabc<−1+ab+bc+ca
⇔ 2abc<−2+2ab+2bc+2ca2abc<−2+2ab+2bc+2ca
⇔ a2+b2+c2+2abc<a2+b2+c2–2+2ab+2bc+2caa2+b2+c2+2abc<a2+b2+c2–2+2ab+2bc+2ca
⇔ a2+b2+c2+2abc<(a+b+c)2−2a2+b2+c2+2abc<(a+b+c)2−2
⇔ a2+b2+c2+2abc<22−2a2+b2+c2+2abc<22−2 , (do a+b=c=2a+b=c=2 )
⇔ dpcm
GT
17 tháng 1 2022
Tham khảo:
https://hoc24.vn/cau-hoi/cho-a-b-c-la-do-dai-ba-canh-cua-mot-tam-giac-va-thoa-man-he-thuc-a-b-c-1-cmr-a2-b2-c2-12.139261258302
2 tháng 5 2018
vì a b c là 3 cạnh của 1 tam giác nên a b c dương \(\Rightarrow\)\(\frac{a^2}{b+c}\)\(\frac{b^2}{c+a}\)\(\frac{c^2}{a+b}\)dương
chu vi của tam giác có cạnh a b c là 4 nên a+b+c=4
\(\Rightarrow\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}>=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{b+c+c+a+a+b}\)(bđt cauchy schwat dạng engel)
\(=\frac{\left(a+b+c\right)^2}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{4^2}{4\cdot2}=\frac{16}{8}=2\)
dấu = xảy ra khi \(\frac{a}{b+c}=\frac{b}{c+a}=\frac{c}{a+b}=\frac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{2}\)\(\Rightarrow a=b=c=\frac{4}{3}\)
vậy \(\frac{a^2}{b+c}+\frac{b^2}{c+a}+\frac{c^2}{a+b}>=2\)dấu = xảy ra khi a=b=c=\(\frac{4}{3}\)
Do a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác nên:
\(a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac\)
Tương tự: \(b^2< ab+bc\) ; \(c^2< ac+bc\)
Cộng vế với vế:
\(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)< \left(a+b+c\right)^2=16\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 8\) (đpcm)