Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
\(cosA=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}=\dfrac{\left(2x+1\right)^2+\left(x^2-1\right)^2-\left(x^2+x+1\right)^2}{2\left(2x+1\right)\left(x^2-1\right)}\)
\(=\dfrac{-2x^3-x^2+2x+1}{2\left(2x+1\right)\left(x^2-1\right)}=\dfrac{-\left(2x+1\right)\left(x^2-1\right)}{2\left(2x+1\right)\left(x^2-1\right)}=-\dfrac{1}{2}\)
\(\Rightarrow A=120^0\)
a) Ta có: \(\overrightarrow {BA} = (2 - ( - 2);1 - 5) = (4; - 4)\) và \(\overrightarrow {BC} = ( - 5 - ( - 2);2 - 5) = ( - 3; - 3)\)
b)
Ta có: \(\overrightarrow {BA} .\overrightarrow {BC} = 4.( - 3) + ( - 4).( - 3) = 0\)
\( \Rightarrow \overrightarrow {BA} \bot \overrightarrow {BC} \) hay \(\widehat {ABC} = {90^o}\)
Vậy tam giác ABC vuông tại B.
Lại có: \(AB = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| = \sqrt {{4^2} + {{( - 4)}^2}} = 4\sqrt 2 \); \(BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{( - 3)}^2}} = 3\sqrt 2 \)
Và \(AC = \sqrt {A{B^2} + B{C^2}} = 5\sqrt 2 \) (do \(\Delta ABC\)vuông tại B).
Diện tích tam giác ABC là: \({S_{ABC}} = \frac{1}{2}.AB.BC = \frac{1}{2}.4\sqrt 2 .3\sqrt 2 = 12\)
Chu vi tam giác ABC là: \(AB + BC + AC = 4\sqrt 2 + 3\sqrt 2 + 5\sqrt 2 = 12\sqrt 2 \)
c) Tọa độ của trọng tâm G là \(\left( {\frac{{2 + ( - 2) + ( - 5)}}{3};\frac{{1 + 5 + 2}}{3}} \right) = \left( {\frac{{ - 5}}{3};\frac{8}{3}} \right)\)
d) Giả sử điểm D thỏa mãn BCAD là một hình bình hành có tọa độ là (a; b).
Ta có: \(\overrightarrow {CB} = ( 3; 3)\) và \(\overrightarrow {AD} = (a - 2;b - 1)\)
Vì BCAD là một hình bình hành nên \(\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {CB} \)
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow (a - 2;b - 1) = ( 3;3)\\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a - 2 = 3\\b - 1 = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5 \\b = 4\end{array} \right.\end{array}\)
Vậy D có tọa độ (5; 4)
Bất đẳng thức cần cm tương đương:
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\).
Mặt khác theo bđt AM - GM (Chú ý a, b, c là độ dài 3 cạnh của tam giác nên a + b - c > 0; b + c - a > 0; c + a - b > 0) ta có:
\(\left(a+b-c\right)\left(b+c-a\right)\left(c+a-b\right)\le\dfrac{\left(a+b-c+b+c-a+c+a-b\right)^3}{27}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{27}\).
Vậy ta có đpcm.
Theo BĐT tam giác ta có:
\(b+c>a\Rightarrow a+b+c>2a\Rightarrow2>2a\Rightarrow a< 1\)
Tương tự cũng có: \(b<1;c<1\)
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\left(\dfrac{1-a+1-b+1-c}{3}\right)^3=\left(\dfrac{3-\left(a+b+c\right)}{3}\right)^3=\dfrac{1}{27}\)
\(\Rightarrow0< \left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le\dfrac{1}{27}\)
\(\Rightarrow0< ab+bc+ca-abc-\left(a+b+c\right)+1\le\dfrac{1}{27}\)
\(\Rightarrow0< ab+bc+ca-abc-1\le\dfrac{1}{27}\)
\(\Rightarrow1< ab+bc+ca-abc\le\dfrac{28}{27}\)
\(\Rightarrow2< 2ab+2bc+2ca+a^2+b^2+c^2-\left(a^2+b^2+c^2+2abc\right)\le\dfrac{56}{27}\)
\(\Rightarrow2< \left(a+b+c\right)^2-\left(a^2+b^2+c^2+2abc\right)\le\dfrac{56}{27}\)
\(\Rightarrow2< 4-\left(a^2+b^2+c^2+2abc\right)\le\dfrac{56}{27}\)
\(\Rightarrow\dfrac{52}{27}\le a^2+b^2+c^2+2abc< 2\) *Đúng*
Do a;b;c là 3 cạnh của 1 tam giác nên:
\(a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac\)
Tương tự: \(b^2< ab+bc\) ; \(c^2< ac+bc\)
Cộng vế với vế:
\(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)
\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2\right)< \left(a+b+c\right)^2=16\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2< 8\) (đpcm)