Cho a, b, c \(\inℕ\)thỏa mãn: \(a^b=b^c=c^a\)Chứng minh rằng: a= b= c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
HQ
15 tháng 2 2021
thử bài bất :D
Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)
\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)
Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:
\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)
Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )
Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
HQ
15 tháng 2 2021
1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D
KN
10 tháng 4 2019
\(\frac{a}{b}< \frac{c}{d}\Leftrightarrow ad< bc\)
\(\Leftrightarrow2019ad< 2019bc\)
\(\Leftrightarrow2019ad+cd< 2019bc+cd\)
\(\Leftrightarrow d\left(2019a+c\right)< c\left(2019b+d\right)\)
\(\Leftrightarrow\frac{2019a+c}{2019b+d}< \frac{c}{d}\)
T
1
NM
0
NM
Nguyễn Minh Quang
Giáo viên
17 tháng 12 2020
Giải như sau:
TH1: a, b, c có các số dư khác nhau khi chia cho 3
Suy ra a+b+c chia hết cho 3 trong khi đó (a-b)(b-c)(c-a) không chia hết cho 3 (do cả 3 số ta đã giả sừ không có 2 số nào có cùng số dư)
TH2: a, b, c đều có cùng số dư khi chia 3 suy ra mọi việc xong vì khi đó (a-b)(b-c)(c-a) chia hết cho 27 suy ra a+b+c chia hết cho 27 (dpcm).
Th3: a, b, c chì tồn tại duy nhất 1 cặp có cùng số dư chia cô 3 (vì nếu tồn tại 2 cặp thì 3 số sẽ cùng số dư quay về TH2)
(1) Suy ra a+b+c không chia hết cho 3 suy ra vô lý vì (a-b)(b-c)(c-a) có một số chia hết cho 3
(do (1)) Tóm lại chì có TH2 được nhận hay a+b+c chia hết cho 27
HF
20 tháng 10 2019
a, \(\left(a+b+c\right)^2=3\left(ab+bc+ac\right)\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac=3\left(ab+bc+ac\right)\)
\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2=0\)
=> a=b=c
13 tháng 1 2022
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a+b-3c}{c}=\dfrac{b+c-3a}{a}=\dfrac{c+a-3b}{b}=\dfrac{a+b-3c+b+c-3a+c+a-3b}{c+a+b}=\dfrac{-\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=-1\)
\(\dfrac{a+b-3c}{c}=-1\Rightarrow a+b-3c=-c\Rightarrow a+b-2c=0\left(1\right)\)
\(\dfrac{b+c-3a}{a}=-1\Rightarrow b+c-3a=-a\Rightarrow b+c-2a=0\left(2\right)\)
\(\dfrac{c+a-3b}{b}=-1\Rightarrow a+c-3b=-b\Rightarrow a+c-2b=0\left(3\right)\)
Từ (1), (2) ta có:\(a+b-2c=b+c-2a\Rightarrow3a=3c\Rightarrow a=c\left(4\right)\)
Từ (1), (3) ta có:\(a+b-2c=a+c-2b\Rightarrow3b=3c\Rightarrow b=c\left(5\right)\)
Từ (4), (5)\(\Rightarrow a=b=c\)
G/s: a \(\ne\)b
không mất tính tổng quát g/s: a < b
Vì \(a^b=b^c\)=> b > c
Mà \(b^c=c^a\)=> a > c
Lại có: \(a^b=c^a\)=> b < a vô lí với giả thiết
=> a = b
Tương tự chứng minh được b = c
=> a = b = c