Question

[D.Công Thiện]

Cho hình lập phương ABCD.A'B'C'D' có cạnh bằng a , điểm M là trung điểm cạnh BC và I là tâm hình vuông CDD'C' . Mặt phẳng (AMI ) chia khối lập phương thành hai khối đa diện, trong đó khối đa diện không chứa điểm D có thể tích là V . Khi đó giá trị của V là

A. \(\frac{7}{36}\)a³ B. \(\frac{22}{29}\)a³ C. \(\frac{7}{29}\)a³ D. \(\frac{29}{36}\)a³

Answer 1

[Nguyễn Việt Lâm]

Trong mặt phẳng (ABCD), kéo dài AM cắt DC tại E \(\Rightarrow\) C là trung điểm DE (t/c đường trung bình)

Trong mặt phẳng CDD'C' nối EI kéo dài lần lượt cắt CC' và DD' tại P và Q

Mặt phẳng (AMI) cắt lập phương theo thiết diện là tứ giác AMPQ

Gọi N là trung điểm CD \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}IN//DD'\\CN=\frac{1}{2}CD\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{EN}{ED}=\frac{\frac{3a}{2}}{2a}=\frac{3}{4}\)

Talet: \(\frac{EN}{ED}=\frac{IN}{DQ}=\frac{3}{4}\Rightarrow DQ=\frac{4}{3}IN=\frac{4}{3}.\frac{a}{2}=\frac{2a}{3}\)

\(CP=\frac{1}{2}DQ=\frac{a}{3}\) (đường trung bình)

\(V_{MCP.ADQ}=V_{E.ADQ}-V_{E.MCP}=\frac{1}{6}\left(ED.AD.DQ-EC.MC.CP\right)\)

\(=\frac{1}{6}\left(2a.a.\frac{2a}{3}-a.\frac{a}{2}.\frac{a}{3}\right)=\frac{7a^3}{36}\)

\(\Rightarrow V=V_{ABCD.A'B'C'D'}-\frac{7a^3}{26}=a^3-\frac{7a^3}{36}=\frac{29a^3}{36}\)