Question

[Thủy Luu]

Cho hình chữ nhật ABCD , có AB =20cm , AD = 15cm. Kẻ AH vuông góc với BD tại H.

1 . CM tam giác AHB đồng dạng tam giác BCD

2 . Tính BD , AH

3 Trên tia đối của tia DA lấy điểm E sao cho DE < AD . Kẻ EM vuông góc với BD tại M , EM cắt AB tại I . Vẽ Ak vuông góc với BE tại K , AF vuông góc với ID tại E . Gọi N là giao điểm của ID và BE .

a, CM HK // MN

b, CM 3 điểm F,H, K thẳng hàng hình

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

1: Xét ΔAHB và ΔBCD có

\(\widehat{AHB}=\widehat{BCD}\left(=90^0\right)\)

\(\widehat{ABH}=\widehat{BDC}\)(hai góc so le trong, AB//CD)

Do đó: ΔAHB∼ΔBCD(g-g)

2: Áp dụng định lí pytago vào ΔABD vuông tại A, ta được:

\(BD^2=AD^2+AB^2\)

\(\Leftrightarrow BD^2=15^2+20^2=625\)

hay \(BD=\sqrt{625}=25cm\)

Ta có: ΔAHB∼ΔBCD(cmt)

⇒\(\frac{AH}{BC}=\frac{AB}{BD}\)

⇒\(\frac{AH}{15}=\frac{20}{25}\)

hay \(AH=\frac{15\cdot20}{25}=\frac{300}{25}=12cm\)

Vậy: BD=25cm; AH=12cm

3: Ta có: AH⊥BD(gt)

IM⊥BD(gt)

Do đó: AH//IM(định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Xét ΔBIM có AH//IM(cmt)

nên \(\frac{BA}{BI}=\frac{BH}{BM}\)(1)

Xét ΔIEB có

EA là đường cao ứng với cạnh IB(gt)

BM là đường cao ứng với cạnh IE(gt)

EA\(\cap\)BM={D}

Do đó: D là trực tâm của ΔIEB(định nghĩa trực tâm của tam giác)

⇒ID là đường cao ứng với cạnh BE

mà ID\(\cap\)BE={N}

nên IN⊥BE

mà AK⊥BE

nên IN//AK(định lí 1 từ vuông góc tới song song)

Xét ΔBNI có IN//AK(cmt)

nên \(\frac{BA}{BI}=\frac{BK}{BN}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\frac{BH}{BM}=\frac{BK}{BN}\)

Xét ΔBMN có \(\frac{BH}{BM}=\frac{BK}{BN}\)(cmt)

nên HK//MN(định lí ta lét đảo)

b) Ta có: AF⊥IN(gt)

EN⊥IN(gt)

Do đó: AF//EN(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
⇒\(\frac{DF}{DN}=\frac{DA}{DE}\)(hệ quả của định lí ta lét)(3)
Ta có: AH⊥BM(gt)

EM⊥BM(gt)

Do đó: AH//EM(định lí 1 từ vuông góc tới song song)
\(\Rightarrow\frac{DA}{DE}=\frac{DH}{DM}\)(hệ quả của định lí ta lét)(4)

Từ (3) và (4) suy ra \(\frac{DF}{DN}=\frac{DH}{DM}\)
Xét ΔDFH và ΔDNM có

\(\widehat{FDH}=\widehat{NDM}\)(hai góc đối đỉnh)

\(\frac{DF}{DN}=\frac{DH}{DM}\)(cmt)

Do đó: ΔDFH∼ΔDNM(c-g-c)

⇒\(\widehat{DFH}=\widehat{DNM}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{DFH}\) và \(\widehat{DNM}\) là hai góc ở vị trí so le trong

nên FH//MN(dấu hiệu nhận biết hai đường thẳng song song)

Ta có: HK//MN(cmt)

FH//MN(cmt)

mà HK và FH có điểm chung là H

nên F,H,K thẳng hàng(đpcm)