CMR:
\(1< \frac{\text{a}}{\text{b + c}}+\frac{\text{b}}{\text{c + a}}+\frac{\text{c}}{\text{ a + b}}< 2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
2 tháng 1 2017
Cách 1. Áp dụng BĐT AM-GM :
\(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{\left(a+b+c+d\right)^2}{2\left(a+b+c+d\right)}\)
\(\Rightarrow\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{a+b+c+d}{2}=\frac{1}{2}\)
Cách 2. Áp dụng BĐT Cauchy : \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{a+b}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^2}{a+b}.\frac{a+b}{4}}=a\)
Tương tự : \(\frac{b^2}{b+c}+\frac{b+c}{4}\ge b\) , \(\frac{c^2}{c+d}+\frac{c+d}{4}\ge c\), \(\frac{d^2}{d+a}+\frac{d+a}{4}\ge d\)
Cộng theo vế : \(\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}+\frac{1}{4}.2.\left(a+b+c+d\right)\ge a+b+c+d\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^2}{a+b}+\frac{b^2}{b+c}+\frac{c^2}{c+d}+\frac{d^2}{d+a}\ge\frac{a+b+c+d}{2}=\frac{1}{2}\)
NM
1
T
7 tháng 10 2017
Lần sau viết rõ yêu cầu đề nhá!
CMR: \(\frac{a}{b+c+1}=\frac{b}{a+c+1}=\frac{c}{a+b+1}=a+b+c\)
Ta có: 3 số a , b , c.Theo tính chất tỉ dãy số bằng nhau ta có:
\(\frac{a}{b+c+1}=\frac{b}{a+c+1}=\frac{c}{a+b+1}=a+b+c=1\)
\(\Rightarrow a=b=c=1-3=\left(-2\right)\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\left(-2\right)\)
Ps: Chả biết đúng hay không , nếu sai xin bạn đừng dis, hổm đến giờ mk bị nhiều cái dis lắm rồi!
NM
1
7 tháng 10 2017
Sửa đề:
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a}{b+c+1}=\dfrac{b}{a+c+1}=\dfrac{c}{a+b-2}=\dfrac{a+b+c}{b+c+1+a+c+1+a+b+-2}=\dfrac{a+b+c}{\left(b+c+a+c+a+b\right)+\left(1+1-2\right)}=\dfrac{a+b+c}{2\left(a+b+c\right)}=\dfrac{1}{2}\)
Tương đương với:
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{a}{b+c+1}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{b}{a+c+1}=\dfrac{1}{2}\\\dfrac{c}{a+c-2}=\dfrac{1}{2}\\a+b+c=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}b+c+1=2a\\a+c+1=2b\\a+c-2=2c\\a+b+c=\dfrac{1}{2}\end{matrix}\right.\)
\(\circledast\) Từ \(a+b+c=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow b+c=\dfrac{1}{2}-a\)
Nên \(\dfrac{1}{2}-a+1=2a\)(tự tìm a nhé dễ lắm)
\(\circledast\) Từ \(a+b+c=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a+c=\dfrac{1}{2}-b\)
Nên \(\dfrac{1}{2}-b+1=2b\)(tự tính b)
\(\circledast\) Từ \(a+b+c=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow a+b=\dfrac{1}{2}-c\)
Nên\(\dfrac{1}{2}-c-2=2c\)(tự tính c)
Vậy...
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 8 2019
Lời giải:
a)
\(\frac{\sin a}{1+\cos a}+\cot a=\frac{\sin a}{1+\cos a}+\frac{\cos a}{\sin a}=\frac{\sin ^2a+\cos^2a+\cos a}{\sin a(1+\cos a)}\)
\(=\frac{1+\cos a}{\sin a(1+\cos a)}=\frac{1}{\sin a}\) (đpcm)
b)
\(\frac{1}{\cos a}-\frac{\cos a}{1+\sin a}=\frac{1+\sin a-\cos ^2a}{\cos a(1+\sin a)}=\frac{(1-\cos ^2a)+\sin a}{\cos a(\sin a+1)}\)
\(=\frac{\sin^2a+\sin a}{\cos a(\sin a+1)}=\frac{\sin a(\sin a+1)}{\cos a(\sin a+1)}=\frac{\sin a}{\cos a}=\tan a\) (đpcm)
c)
\(\frac{\tan a-\sin a}{\sin ^3a}=\frac{\frac{\sin a}{\cos a}-\sin a}{\sin ^3a}=\frac{\frac{1}{\cos a}-1}{\sin ^2a}=\frac{1-\cos a}{\cos a\sin ^2a}=\frac{1-\cos a}{\cos a(1-\cos ^2a)}=\frac{1}{\cos a(1+\cos a)}\)
d)
\(\frac{\sin a+\cos a-1}{\sin a-\cos a+1}=\frac{(\sin a+\cos a-1)(\sin a+\cos a+1)}{(\sin a-\cos a+1)(\sin a+\cos a+1)}=\frac{(\sin a+\cos a)^2-1}{(\sin a+1)^2-\cos ^2a}\)
\(=\frac{\sin ^2a+\cos ^2a+2\sin a\cos a-1}{\sin ^2a+1+2\sin a-\cos ^2a}=\frac{1+2\sin a\cos a-1}{\sin ^2a+1+2\sin a-(1-\sin ^2a)}\)
\(=\frac{2\sin a\cos a}{2\sin ^2a+2\sin a}=\frac{2\sin a\cos a}{2\sin a(\sin a+1)}=\frac{\cos a}{1+\sin a}\) (đpcm)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
14 tháng 8 2019
Mấu chốt trong các bài này là việc sử dụng công thức $\sin ^2a+\cos ^2a=1$
29 tháng 6 2019
\(B=\Sigma\frac{ab}{a^2+b^2-c^2}\)
\(B=\frac{ab}{a^2+\left(b-c\right)\left(b+c\right)}+\frac{bc}{b^2+\left(c-a\right)\left(c+a\right)}+\frac{ac}{c^2+\left(a-b\right)\left(a+b\right)}\)
\(B=\frac{ab}{a^2-a\left(b-c\right)}+\frac{bc}{b^2-b\left(c-a\right)}+\frac{ac}{c^2-c\left(a-b\right)}\)
\(B=\frac{ab}{a\left(a-b+c\right)}+\frac{bc}{b\left(b-c+a\right)}+\frac{ac}{c\left(c-a+b\right)}\)
\(B=\frac{b}{a+b+c-2b}+\frac{c}{a+b+c-2c}+\frac{a}{a+b+c-2a}\)
\(B=\frac{-b}{2b}+\frac{-c}{2c}+\frac{-a}{2a}\)
\(B=\frac{-1}{2}+\frac{-1}{2}+\frac{-1}{2}\)
\(B=\frac{-3}{2}\)
Tránh trả lời lại.
À không mk có 2 nick,nick này là mk mới lập vì nick kia mk bị mất ạ=))