Cho 2 số thực dương x,y thỏa \(2\sqrt{xy}+\frac{x}{3}=1.\)Tìm GTNN của P=\(\frac{y}{x}+\frac{4x}{3y}+15xy\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
23 tháng 8 2021
\(P=\dfrac{y}{x}+\dfrac{x}{y}+\left(\dfrac{x}{3y}+3xy+\dfrac{1}{3}+\dfrac{1}{3}\right)+12\left(xy+\dfrac{1}{9}\right)-2\)
\(P\ge2\sqrt{\dfrac{xy}{xy}}+4\sqrt[4]{\dfrac{3x^2y}{27y}}+12.2\sqrt{\dfrac{xy}{9}}-2\)
\(P\ge4\sqrt{\dfrac{x}{3}}+8\sqrt{xy}=4\left(2\sqrt{xy}+\sqrt{\dfrac{x}{3}}\right)=4\)
\(P_{min}=4\) khi \(x=y=\dfrac{1}{3}\)
13 tháng 10 2019
\(5\le xy+yz+zx\le\frac{\left(x+y+z\right)^2}{3}\)\(\Leftrightarrow\)\(x+y+z\ge\sqrt{15}\)
\(\frac{x^2}{\sqrt{8x^2+3y^2+14xy}}=\frac{x^2}{\sqrt{8x^2+2xy+3y^2+12xy}}\ge\frac{x^2}{\sqrt{9x^2+12xy+4y^2}}=\frac{x^2}{3x+2y}\)
\(A\ge sigma\frac{x^2}{3x+2y}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{5\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{5}\ge\sqrt{\frac{3}{5}}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=\sqrt{\frac{5}{3}}\)
TN
28 tháng 11 2016
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(\frac{x^4}{y+3z}+\frac{y+3z}{16}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}\ge4\sqrt[4]{\frac{x^4}{y+3z}\cdot\frac{y+3z}{16}\cdot\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{4}}=x\)
\(\Rightarrow\frac{x^4}{y+3z}\ge x-\frac{y+3z}{16}-\frac{1}{2}\).Tương tự ta có:
\(\frac{y^4}{z+3x}\ge y-\frac{z+3x}{16}-\frac{1}{2};\frac{z^4}{x+3y}\ge z-\frac{x+3y}{16}-\frac{1}{2}\)
Cộng theo vế ta có:
\(P\ge\frac{3}{4}\left(x+y+z\right)-\frac{3}{2}\ge\frac{3}{4}\cdot3-\frac{3}{2}=\frac{3}{4}\)
Dấu "=" khi x=y=z=1