x,y>0
\(\frac{1}{x}+\frac{1}{y+1}\le1\)
\(P=x+y+\frac{1}{x+y}\)
gtnn
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
L
3
PN
14 tháng 6 2020
Ta có : \(VP=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{yx}}=2\)
Vậy \(Q_{min}=2\)với \(x=y\)
mình không chắc về phân bđt này lắm
14 tháng 6 2020
Đặt x=a, \(\frac{1}{y}=b\)\(\Rightarrow a+b\le1\)
Ta có: \(Q=ab+\frac{1}{ab}=16ab+\frac{1}{ab}-15ab\ge2\sqrt{\frac{16ab}{ab}}-\frac{15.\left(a+b\right)^2}{4}=8-\frac{15.1}{4}=\frac{17}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=\(\frac{1}{2}\)hay \(x=\frac{1}{2},y=2\)
CV
1 tháng 10 2018
ap dung bdt cauchy schwarz ta co
\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}>=\frac{\left(x-1+z-1+y-1\right)^2}{x+y+z}=\frac{1}{2}\)
vay min=1/2
R
4
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 10 2019
\(Q\ge2xy+\frac{2}{xy}=2xy+\frac{1}{8xy}+\frac{15}{8xy}\ge2\sqrt{\frac{2xy}{8xy}}+\frac{15}{2\left(x+y\right)^2}\ge1+\frac{15}{2}=\frac{17}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
21 tháng 7 2020
By Titu's Lemma we easy have:
\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{17}{4}\)
21 tháng 7 2020
Mk xin b2 nha!
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 7 2020
\(1\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y+1}\ge\frac{4}{x+y+1}\Rightarrow x+y+1\ge4\)
\(\Rightarrow x+y\ge3\)
\(P=\frac{x+y}{9}+\frac{1}{x+y}+\frac{8}{9}\left(x+y\right)\ge2\sqrt{\frac{x+y}{9\left(x+y\right)}}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)
\(P_{min}=\frac{10}{3}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 5 2019
\(2\sqrt{xy}\le x+y\le1\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{xy}}\ge2\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge4\)
\(P\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}=2\sqrt{\frac{15}{16xy}+\frac{1}{16xy}+xy}\)
\(P\ge2\sqrt{\frac{15}{16}.4+2\sqrt{\frac{xy}{16xy}}}=\sqrt{17}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\sqrt{17}\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
HT
1
10 tháng 8 2016
\(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\ge2\left(Cauchy\right)\Rightarrow Min=2\Leftrightarrow x=y\)