N
0
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Các câu hỏi dưới đây có thể giống với câu hỏi trên
L
3
PN
14 tháng 6 2020
Ta có : \(VP=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{yx}}=2\)
Vậy \(Q_{min}=2\)với \(x=y\)
mình không chắc về phân bđt này lắm
14 tháng 6 2020
Đặt x=a, \(\frac{1}{y}=b\)\(\Rightarrow a+b\le1\)
Ta có: \(Q=ab+\frac{1}{ab}=16ab+\frac{1}{ab}-15ab\ge2\sqrt{\frac{16ab}{ab}}-\frac{15.\left(a+b\right)^2}{4}=8-\frac{15.1}{4}=\frac{17}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=\(\frac{1}{2}\)hay \(x=\frac{1}{2},y=2\)
CV
1 tháng 10 2018
ap dung bdt cauchy schwarz ta co
\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}>=\frac{\left(x-1+z-1+y-1\right)^2}{x+y+z}=\frac{1}{2}\)
vay min=1/2
R
4
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
1 tháng 10 2019
\(Q\ge2xy+\frac{2}{xy}=2xy+\frac{1}{8xy}+\frac{15}{8xy}\ge2\sqrt{\frac{2xy}{8xy}}+\frac{15}{2\left(x+y\right)^2}\ge1+\frac{15}{2}=\frac{17}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 7 2020
\(1\ge\frac{1}{x}+\frac{1}{y+1}\ge\frac{4}{x+y+1}\Rightarrow x+y+1\ge4\)
\(\Rightarrow x+y\ge3\)
\(P=\frac{x+y}{9}+\frac{1}{x+y}+\frac{8}{9}\left(x+y\right)\ge2\sqrt{\frac{x+y}{9\left(x+y\right)}}+\frac{8}{9}.3=\frac{10}{3}\)
\(P_{min}=\frac{10}{3}\) khi \(\left\{{}\begin{matrix}x=2\\y=1\end{matrix}\right.\)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
12 tháng 5 2019
\(2\sqrt{xy}\le x+y\le1\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{xy}}\ge2\Rightarrow\frac{1}{xy}\ge4\)
\(P\ge\frac{2}{\sqrt{xy}}\sqrt{1+x^2y^2}=2\sqrt{\frac{1}{xy}+xy}=2\sqrt{\frac{15}{16xy}+\frac{1}{16xy}+xy}\)
\(P\ge2\sqrt{\frac{15}{16}.4+2\sqrt{\frac{xy}{16xy}}}=\sqrt{17}\)
\(\Rightarrow P_{min}=\sqrt{17}\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
8 tháng 3 2022
Áp dụng BĐT phụ \(4xy\le\left(x+y\right)^2\le1\)\(\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Có \(K=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)\(=x^2+2x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+y^2+2y.\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}\)\(=x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+4\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(x^2\)và \(y^2\), ta có: \(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)
Tương tự, ta có \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2}.\frac{1}{y^2}}=\frac{2}{xy}\)
Từ đó \(K\ge2xy+\frac{2}{xy}+4\)\(=32xy+\frac{2}{xy}-30xy+4\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(32xy\)và \(\frac{2}{xy}\), ta có: \(32xy+\frac{2}{xy}\ge2\sqrt{32xy.\frac{2}{xy}}=16\)
Lại có \(xy\le\frac{1}{4}\Leftrightarrow-xy\ge-\frac{1}{4}\)nên \(K\ge16-\frac{30}{4}+4=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của K là \(\frac{25}{2}\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
8 tháng 3 2022
\(K=x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+4=x^2+\dfrac{1}{16x^2}+y^2+\dfrac{1}{16y^2}+\dfrac{15}{16x^2}+\dfrac{15}{16y^2}+4\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+4+\dfrac{2.15}{16xy}=5+\dfrac{2.15}{16xy}\)
\(x+y\ge2\sqrt{xy};\Rightarrow2\sqrt{xy}\le x+y\le1\Rightarrow2\sqrt{xy}\le1\Leftrightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow K\ge5+\dfrac{2.15}{16.\dfrac{1}{4}}=\dfrac{25}{2}\)
TL
1
19 tháng 10 2020
Bổ đề: \(2xy\le x^2+y^2\)
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{4}{2xy}\ge\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{4}{x^2+y^2}=\frac{5}{x^2+y^2}\ge5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
2 tháng 5 2020
Áp dụng công thức \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\left(x,y>0\right)\)
Ta có \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{y+z}\right)\)
\(\frac{1}{y+z}\le\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\)
=> \(\frac{1}{2x+y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{2x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{4z}\right)\left(1\right)\)
Tương tự \(\hept{\begin{cases}\frac{1}{x+2y+z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{2y}+\frac{1}{4z}\right)\left(2\right)\\\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{4x}+\frac{1}{4y}+\frac{1}{2z}\right)\left(3\right)\end{cases}}\)
(1)(2)(3) => \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\)
=> \(\frac{1}{2x+y+z}+\frac{1}{x+2y+z}+\frac{1}{x+y+2z}\le1\)
Dấu "=" xảy ra <=> \(x=y=z=\frac{3}{4}\)