Question

[Haibaraaiconan]

Cho tam giác ABC vuông tại A. Kẻ AH vuông BC tại H. Kẻ tia phân giác AD của góc BAH (D∈BC)

a) Chứng minh BAH = C , CAH = B

b) Chứng minh ΔACD cân

c) Kẻ DK vuông BC, cắt AB tại K. Chứng minh ΔKAD cân

d) CK là tia phân giác của C và CK là đường trung trực AB

e) Trên cạnh AB lấy điểm I sao cho AI = AH. Chứng minh DI // AC

Answer 1

[Nguyễn Lê Phước Thịnh]

a) Xét ΔABC vuông tại A có

\(\widehat{C}+\widehat{ABC}=90^0\)(hai góc phụ nhau)(1)

Xét ΔBAH vuông tại H có

\(\widehat{HAB}+\widehat{B}=90^0\)(hai góc phụ nhau)(2)

Từ (1) và (2) suy ra

\(\widehat{C}+\widehat{ABC}=\widehat{HAB}+\widehat{B}\)

mà \(\widehat{ABC}=\widehat{B}\)

nên \(\widehat{C}=\widehat{BAH}\)(đpcm)

Xét ΔCAH vuông tại H có

\(\widehat{CAH}+\widehat{C}=90^0\)(hai góc phụ nhau)(3)

Từ (1) và (3) suy ra \(\widehat{C}+\widehat{B}=\widehat{CAH}+\widehat{C}\)

hay \(\widehat{B}=\widehat{CAH}\)(đpcm)

b) Xét ΔAHD vuông tại H có

\(\widehat{HDA}+\widehat{HAD}=90^0\)(hai góc phụ nhau)(4)

Ta có: \(\widehat{CAD}+\widehat{BAD}=90^0\)(5)

Từ (4) và (5) suy ra \(\widehat{HDA}+\widehat{HAD}=\widehat{CAD}+\widehat{BAD}\)

mà \(\widehat{HAD}=\widehat{BAD}\)(do tia AD là tia phân giác của \(\widehat{HAB}\))

nên \(\widehat{HDA}=\widehat{CAD}\)

mà C∈HD
nên \(\widehat{CDA}=\widehat{CAD}\)

Xét ΔACD có \(\widehat{CDA}=\widehat{CAD}\)(cmt)

nên ΔACD cân tại C(định lí đảo tam giác cân)

c) Ta có: AH⊥BC(gt)

DK⊥BC(gt)

Do đó: AH//DK(định lí 1 từ vuông góc tới song song)

⇒\(\widehat{HAD}=\widehat{ADK}\)(hai góc so le trong)

mà \(\widehat{HAD}=\widehat{KAD}\)(do tia AD là tia phân giác của \(\widehat{HAK}\))

nên \(\widehat{ADK}=\widehat{KAD}\)

Xét ΔKAD có \(\widehat{ADK}=\widehat{KAD}\)(cmt)

nên ΔKAD cân tại K(định lí đảo tam giác cân)

d) Xét ΔCKA và ΔCDK có

CA=CD(ΔACD cân tại C)

CK là cạnh chung

KA=KD(ΔKAD cân tại K)

Do đó: ΔCKA=ΔCDK(c-c-c)

⇒\(\widehat{ACK}=\widehat{DCK}\)(hai góc tương ứng)

mà tia CK nằm giữa hai tia CA,CD

nên CK là tia phân giác của \(\widehat{ACD}\)

hay CK là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\)(do B∈DC)(đpcm)

*Sửa đề: CK là đường trung trực của AD

Ta có: CA=CD(ΔACD cân tại C)

nên C nằm trên đường trực của AD(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(6)

Ta có: KA=KD(ΔKAD cân tại K)

nên K nằm trên đường đường trực của AD(t/c đường trung trực của một đoạn thẳng)(7)

Từ (6) và (7) suy ra CK là đường trung trực của AD(đpcm)

e)Xét ΔAHD và ΔADI có

AH=AI(gt)

\(\widehat{HAD}=\widehat{IAD}\)(do tia AD là tia phân giác của \(\widehat{HAB}\),I∈AB)

AD chung

Do đó: ΔAHD=ΔADI(c-g-c)

⇒\(\widehat{AHD}=\widehat{AID}\)(hai góc tương ứng)

mà \(\widehat{AHD}=90^0\)(AH⊥BC,D∈BC)

nên \(\widehat{AID}=90^0\)

⇒DI⊥AB

Ta có: AC⊥AB(ΔABC vuông tại A)

DI⊥AB(cmt)

Do đó: AC//DI(định lí 1 từ vuông góc tới song song)