K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 10 2020

Lời giải:

Chứng minh vế thứ nhất:

Với mọi số tự nhiên $i< n$ ta có: $\frac{1}{n+i}> \frac{1}{n+n}$. Thay $i=1,2,...$ ta có:

$\frac{1}{n+1}>\frac{1}{n+n}$

$\frac{1}{n+2}>\frac{1}{n+n}$

.....

Do đó: $\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}>\frac{1}{n+n}+\frac{1}{n+n}+...+\frac{1}{n+n}=\frac{n}{n+n}=\frac{1}{2}$

(đpcm)

Vế thứ hai có vẻ không đúng lắm, vì $n$ càng tăng thì giá trị của tổng càng tăng theo nên mình nghĩ khi $n$ tiến tới vô cực thì tổng trên cũng vượt khỏi $\frac{3}{4}$

1 tháng 6 2018

vì bài dài quá nên mình làm từng bài 1 nhé

1. Ta thấy : \(\frac{1}{n^3}< \frac{1}{n^3-n}=\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\left[\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]\)

Do đó : 

\(B< \frac{1}{2}.\left[\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]< \frac{1}{2}.\frac{1}{6}=\frac{1}{12}\)

1 tháng 6 2018

2.

Nhận xét : \(1+\frac{1}{n\left(n+2\right)}=\frac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}\)

Do đó : 

\(A=\frac{2^2}{1.3}.\frac{3^2}{2.4}.\frac{4^2}{3.5}...\frac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}=\frac{2.3...\left(n+1\right)}{1.2...n}.\frac{2.3...\left(n+1\right)}{3.4...\left(n+2\right)}=\frac{n+1}{1}.\frac{2}{n+2}< 2\)

16 tháng 5 2020

a) Ta có \(\frac{1}{n+k}>\frac{1}{2n}\)với k=1;2;...;n-1

=> \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+....+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}\)

Mặt khác ta có \(\frac{1}{n+k}+\frac{1}{n\left(+\left(n+1-k\right)\right)}< \frac{3}{2n}\)

\(\Leftrightarrow3k^2+3nk+n+3k\forall k=1;2;...;n\)

Với k=1 ta có \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+n}< \frac{3}{2n}\)

Với k=2 ta có \(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+\left(n-1\right)}< \frac{3}{2n}\)

..........................................

Với k=n ta có \(\frac{1}{n+n}+\frac{1}{n+1}< \frac{3}{2n}\)

Cộng từng vế của 2 BĐT trên ta được

\(2\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}\right)< \frac{3}{2n}+\frac{3}{2n}+....+\frac{3}{2n}=\frac{3n}{2n}=\frac{3}{2}\)

\(\Rightarrow\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}< \frac{3}{4}\)(đpcm)

16 tháng 5 2020

Không cần chứng minh \(\frac{1}{2}< \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}\)

20 tháng 5 2019

gọi A là vế trái của bất đẳng thức trên

Ta có : \(\frac{1}{k^3}< \frac{1}{k^3-k}=\frac{1}{k.\left(k-1\right)\left(k+1\right)}\)

Do đó : A < \(\frac{1}{2^3-2}+\frac{1}{3^3-3}+...+\frac{1}{n^3-n}=\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)

Đặt C = \(\frac{1}{1.2.3}+\frac{1}{2.3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)

Ta thấy \(\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{2}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}\)

nên 

C = \(\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{1.2}-\frac{1}{2.3}+\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)\)

\(=\frac{1}{2}.\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right)=\frac{1}{4}-\frac{1}{2n\left(n+1\right)}< \frac{1}{4}\)

Vậy ....

13 tháng 4 2019

Akaima Việt LâmMinh

13 tháng 4 2019

Ông ko lm đk thì sao mà tôi làm được nhỉ???

13 tháng 8 2019

Đặt P = ... 

* Chứng minh P > 1/2 : 

\(P\ge\frac{\left(1+1+1+...+1\right)^2}{n+1+n+2+n+3+...+n+n}\)

Từ \(n+1\) đến \(n+n\) có n số => tổng \(\left(n+1\right)+\left(n+2\right)+\left(n+3\right)+...+\left(n+n\right)\) là: 

\(\frac{n\left(n+n+n+1\right)}{2}=\frac{n\left(3n+1\right)}{2}\)

\(\Rightarrow\)\(P\ge\frac{n^2}{\frac{n\left(3n+1\right)}{2}}=\frac{2n}{3n+1}\)

Mà \(n>1\)\(\Leftrightarrow\)\(4n>3n+1\)\(\Leftrightarrow\)\(\frac{n}{3n+1}>\frac{1}{2}\)

\(\Rightarrow\)\(P>\frac{1}{2}\)

* Chứng minh P < 3/4 : 

Có: \(\frac{1}{n+1}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+1\right)\)

\(\frac{1}{n+2}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{2}\right)\)

\(\frac{1}{n+3}\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{3}\right)\)

... 

\(\frac{1}{n+n}=\frac{1}{2n}=\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)\)

\(\Rightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+1+\frac{1}{n}+\frac{1}{2}+\frac{1}{n}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+\frac{1}{n}+...+\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)\)

\(\Leftrightarrow\)\(P\le\frac{1}{4}\left(n.\frac{1}{n}\right)+\frac{1}{4}\left(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n}\right)< \frac{1}{4}+\frac{1}{4}=\frac{2}{4}< \frac{3}{4}\) ( do n>1 ) 

\(\Rightarrow\)\(P< \frac{3}{4}\)