Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
vì bài dài quá nên mình làm từng bài 1 nhé
1. Ta thấy : \(\frac{1}{n^3}< \frac{1}{n^3-n}=\frac{1}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\frac{\left(n+1\right)-\left(n-1\right)}{\left(n-1\right)n\left(n+1\right)}=\frac{1}{2}.\left[\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]\)
Do đó :
\(B< \frac{1}{2}.\left[\frac{1}{2.3}-\frac{1}{3.4}+\frac{1}{3.4}-\frac{1}{4.5}+...+\frac{1}{\left(n-1\right)n}-\frac{1}{n\left(n+1\right)}\right]< \frac{1}{2}.\frac{1}{6}=\frac{1}{12}\)
2.
Nhận xét : \(1+\frac{1}{n\left(n+2\right)}=\frac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}\)
Do đó :
\(A=\frac{2^2}{1.3}.\frac{3^2}{2.4}.\frac{4^2}{3.5}...\frac{\left(n+1\right)^2}{n\left(n+2\right)}=\frac{2.3...\left(n+1\right)}{1.2...n}.\frac{2.3...\left(n+1\right)}{3.4...\left(n+2\right)}=\frac{n+1}{1}.\frac{2}{n+2}< 2\)
Mk muốn làm giúp bạn lắm chứ nhưng mà khổ lỗi mk mới học lớp 6 . Xin lỗi bn
bài 2 gợi ý từ hdt (x+y+z)^3=x^3+y^3+z^3+3(x+y)(y+z)(z+x)
VT (ở đề bài) = a+b+c
<=>....<=>3[căn bậc 3(a)+căn bậc 3(b)].[căn bậc 3(b)+căn bậc 3(c)].[căn bậc 3(c)+căn bậc 3 (a)]=0
từ đây rút a=-b,b=-c,c=-a đến đây tự giải quyết đc r
Ta có :
\(A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}\)
Ta có:
\(\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x-1}}=\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x-1}}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{x-1}\right)\left(\sqrt{x}-\sqrt{x-1}\right)}=\sqrt{x}-\sqrt{x-1}\)
Do đó:
\(A=\frac{1}{\sqrt{1}+\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{3}}+\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{4}}+...+\frac{1}{\sqrt{n-1}+\sqrt{n}}\)
\(\Leftrightarrow A=\sqrt{1}-\sqrt{2}+\sqrt{2}-\sqrt{3}+\sqrt{3}-\sqrt{4}+...+\sqrt{n-1}+\sqrt{n}\)
\(\Leftrightarrow A=\sqrt{n}-1\left(dpcm\right)\)
\(\sqrt{6+2\sqrt{2}.\sqrt{3-\sqrt{\sqrt{2}+2\sqrt{3}+\sqrt{18-8\sqrt{2}}}}}-\sqrt{3}\)\(=\sqrt{6+2.1,4.\sqrt{3-\sqrt{1,4+2.1,7+\sqrt{18-8.1,4\text{}}}}}-1,7\)
\(=\sqrt{6+2,8\sqrt{3-\sqrt{1,4+3,4+\sqrt{18-11,2}}}}-1,7\)
\(=\sqrt{8,8\sqrt{3-\sqrt{4,8+\sqrt{6,8}}}}-1,7\)
\(=\sqrt{8,8\sqrt{3-\sqrt{4,8+2,6}}}-1,7\)
\(=\sqrt{8,8\sqrt{3-\sqrt{7,4}}}-1,7\)
\(=\sqrt{8,8\sqrt{3-2,7}}-1,7\)
\(=\sqrt{88\sqrt{0,3}}-1,7\)
\(=\sqrt{88.0,54}-1,7\)
\(=\sqrt{47,52}-1,7\)
\(=6,9-1,7\)
\(=5,2\)
2,Mệt với câu 1 rồi nên câu 2 và câu 3 chịu
hình như sai rồi bạn ơi, lúc học thì thầy mình giải ra kết quả =1 và ko tính căn ra như thế
Ta có:
\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}=\frac{\sqrt{n}}{\left(n+1\right)n}=\sqrt{n}.\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\right)\)
\(=\sqrt{n}.\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n-1}}\right)\)
\(=\left(1+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(< \left(1+\frac{\sqrt{n+1}}{\sqrt{n+1}}\right)\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=2.\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
Áp dụng vào bài toán ta được
\(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\left(\frac{1}{\sqrt{1}}-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)
\(=2.\left(1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)< 2\)
Vậy \(\frac{1}{2\sqrt{1}}+\frac{1}{3\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}< 2\)
\(\frac{1}{2\sqrt{1}}\)+\(\frac{1}{3\sqrt{2}}\)+...+\(\frac{1}{\left(n+1\right)\sqrt{n}}\)<2
p=\(\frac{-\sqrt{x}}{2\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)
mà \(-\sqrt{x}< 0\) ( vì điều kiện xác định x > 0 ; x \(\ne\) -1 )
mặt khác \(x-\sqrt{x}+1=x-2\sqrt{x}\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=\left(\sqrt{x}-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}\)
=> \(\frac{-\sqrt{x}}{2\left(x-\sqrt{x}+1\right)}< 0\)
=> p \(< \) 0 => p luôn luôn âm với mọi x
p = \(\frac{1}{\sqrt{x}+1}-\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\sqrt{x}}{2}\)
p = \(\frac{x-\sqrt{x}+1}{\left(x-\sqrt{x}+1\right)\sqrt{x}+1}-\frac{x+2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\sqrt{x}}{2}\)
p = \(\frac{x-\sqrt{x}+1-x-2}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\sqrt{x}}{2}\)
p=\(\frac{-\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x-\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\sqrt{x}}{2}\)
p=\(\frac{-1}{\left(x-\sqrt{x}+1\right)}.\frac{\sqrt{x}}{2}\)
p=\(\frac{-\sqrt{x}}{2\left(x-\sqrt{x}+1\right)}\)
b: Để N là số nguyên dương thì \(\sqrt{x}-3>0\)
\(\Leftrightarrow x>9\)
mà x là số nguyên
nên \(\left\{{}\begin{matrix}x\in Z\\x>9\end{matrix}\right.\)
a) Ta có \(\frac{1}{n+k}>\frac{1}{2n}\)với k=1;2;...;n-1
=> \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}>\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+\frac{1}{2n}+....+\frac{1}{2n}=\frac{n}{2n}=\frac{1}{2}\)
Mặt khác ta có \(\frac{1}{n+k}+\frac{1}{n\left(+\left(n+1-k\right)\right)}< \frac{3}{2n}\)
\(\Leftrightarrow3k^2+3nk+n+3k\forall k=1;2;...;n\)
Với k=1 ta có \(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+n}< \frac{3}{2n}\)
Với k=2 ta có \(\frac{1}{n+2}+\frac{1}{n+\left(n-1\right)}< \frac{3}{2n}\)
..........................................
Với k=n ta có \(\frac{1}{n+n}+\frac{1}{n+1}< \frac{3}{2n}\)
Cộng từng vế của 2 BĐT trên ta được
\(2\left(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}\right)< \frac{3}{2n}+\frac{3}{2n}+....+\frac{3}{2n}=\frac{3n}{2n}=\frac{3}{2}\)
\(\Rightarrow\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}< \frac{3}{4}\)(đpcm)
Không cần chứng minh \(\frac{1}{2}< \frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}\)