Question

[•๖ۣۜƓiȵ༄²ᵏ⁶]

 Tìm m thuộc N,sao cho (m²+4m+3)x(m²+36m+323)+35³ là số chính phương 

HELP ME!!!!

Answer 1

[Vũ Tiến Manh]

= \(\left(m^2+4m+3\right)\left(m^2+4m+3+32m+320\right)+35^3=\)\(\left(m^2+4m+3\right)^2+32\left(m+10\right)\left(m^2+4m+3\right)+35^3=\)\(\left(m^2+4m+3\right)^2+2.\left(16m+160\right)\left(m^2+4m+3\right)+\left(16m+160\right)^2-\)\(\left(16m+160\right)^2+35^3=\)

\(\left(m^2+4m+3+16m+160\right)^2-\left(16m+160\right)^2+35^3=\)

\(\left(m^2+20m+163\right)^2-16^2\left(m+10\right)^2+35^3=\)\(\left[\left(m+10\right)^2+63\right]^2-256\left(m+10\right)^2+35^3.\)(1)

Đặt (m+10)² = a( m thuộc N lên a \(\ge10^2=100\))

(1) <=> (a+63)² -256a + 35³ = a² -130a +63²+35³ = (a-65)² + 42619 = K²  (K \(\in N\))

<=> K²- (a-65)² =42619 <=> (K-a+65)(K+a-65) = 17.23.109

Với a\(\ge10=>K+a-65>K-a+65\)

=> \(\hept{\begin{cases}K+a-65=17.23.109\\K-a+65=1\end{cases};\hept{\begin{cases}K+a-65=23.109\\K-a+65=17\end{cases};\hept{\begin{cases}K+a-65=17.109\\K-a+65=23\end{cases}}}};\)\(\hept{\begin{cases}K+a-65=17.23\\K-a+65=109\end{cases}}\)

giải \(\hept{\begin{cases}K+a-65=17.23.109\\K-a+65=1\end{cases}}\)trừ vế theo vế ta được 2a -2.65=42618 <=> a = 21374 = (m+10)²

dễ thấy 21374 chia hết cho 2 nhưng không chia hết cho 4 nên 21374 không phải là số chính phương => không có m thỏa mãn

giải tương tự các hệ phương trình còn lại ta cũng không tìm được m thỏa mãn

Vậy không có m thỏa mãn. 

(có ai giải khác chỉ mình với)