cho 1/a+1/b\(\ge\)a/a+b. Dấu = xảy ra khi nào?
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
3.1
Xét hiệu :
\(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2-ab=\dfrac{a^2+2ab+b^2}{4}-\dfrac{4ab}{4}\)
\(=\dfrac{a^2-2ab+b^2}{4}=\dfrac{\left(a-b\right)^2}{4}\ge0\forall a,b\in R\)
Vậy \(\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\ge ab,\forall a,b\in R\)
Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow a=b\)
3.2
Áp dụng kết quả của câu 3.1 vào câu 3.2 ta được:
\(\left(a+b+c\right)^2=[a+\left(b+c\right)]^2\ge4a\left(b+c\right)\)
Mà : \(a+b+c=1\left(gt\right)\)
nên : \(1\ge4a\left(b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow b+c\ge4a\left(b+c\right)^2\) ( vì a,b,c không âm nên b+c không âm )
Mà : \(\left(b+c\right)^2\ge4bc\Leftrightarrow\left(b-c\right)^2\ge0,\forall b,c\in N\)
\(\Rightarrow b+c\ge16abc\)
Dấu bằng xảy ra : \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=b+c\\b=c\end{matrix}\right.\Leftrightarrow b=c=\dfrac{1}{4};a=\dfrac{1}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho 3 số dương:
\(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc};\text{ }\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{abc}}\)
Nhân theo vế 2 bất đẳng thức trên, ta được:
\(\left(a+b+c\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right)\ge9\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\ge\frac{9}{a+b+c}\)
Dấu "=" xảy ra khi a = b = c.
Bất đẳng thức Cauchy là không đúng. Viết đúng phải là bất đẳng thức AM-GM
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(VT-VP=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{b\left(a+b\right)+a\left(a+b\right)-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{ab+b^2+a^2+ab-4ab}{ab\left(a+b\right)}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\)
Do a,b>0 nên ab(a+b)>0 và (a-b)2 >=0
=> VT-VP>=0 nên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\left(dpcm\right)\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi VT-VP=0 tức là (a-b)2 =0 => a=b
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1/ \(a^2-b^2+c^2\ge\left(a-b+c\right)^2\)
\(\Leftrightarrow bc-ac-b^2+ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(bc-ac\right)+\left(ab-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)(đúng)
Vì \(\hept{\begin{cases}a\ge b\\b\ge c\end{cases}}\)
2/ \(a^2-b^2+c^2-d^2\ge\left(a-b+c-d\right)^2\)
\(\Leftrightarrow-d^2+cd-bd+ad+bc-ac-b^2+ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(dc-d^2\right)+\left(ad-bd\right)+\left(bc-ac\right)+\left(ba-b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow d\left(c-d\right)+d\left(a-b\right)+\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)
Đúng vì \(a\ge b\ge c\ge d\ge0\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
c) Áp dụng BĐT cô si cho 2 hai số dương \(a;b\) ta có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)
\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}\)
\(\Rightarrow\left(a+b\right)\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\right)\ge4\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\Leftrightarrow a=b\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
1) a2 - ab + b2 ≥ 0
<=> ( 4a2 - 4ab + b2 ) + 3b2 ≥ 0
<=> ( 2a - b )2 + 3b2 ≥ 0 ( đúng ∀ a,b )
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b = 0
2) a2 - ab + b2 ≥ 1/4( a + b )2
<=> 4a2 - 4ab + 4b2 ≥ a2 + 2ab + b2
<=> 4a2 - 4ab + 4b - a2 - 2ab - b2 ≥ 0
<=> 3a2 - 6ab + 3b2 ≥ 0
<=> a2 - 2ab + b2 ≥ 0
<=> ( a - b )2 ≥ 0 ( đúng ∀ a,b )
Vậy bđt ban đầu được chứng minh
Đẳng thức xảy ra <=> a = b
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
BĐT tương đương :
\(\frac{1}{1+x^2}-\frac{1}{1+xy}+\frac{1}{1+y^2}-\frac{1}{1+xy}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(y-x\right)^2\left(xy-1\right)}{\left(1+x^2\right)\left(1+y^2\right)\left(1+xy\right)}\ge0\) ( đúng )
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
|a|+|b|\(\ge\)|a+b| (1)
Bình phương 2 vế của (1) ta có:
(|a|+|b|)2\(\ge\)(|a+b|)2
=>a2+2|ab|+b2\(\ge\)a2+2ab+b2
=>|ab|\(\ge\)ab (luôn đúng)
BĐT cuối đúng ->(1) dc chứng minh
Dấu = khi ab\(\ge\)0