Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}\ge\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\)
Ta có: \(\frac{a^2}{b}+3b=\frac{a^2+b^2}{b}+2b\ge2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\)(Theo BĐT Cô - si)
Tương tự ta có: \(\frac{b^2}{c}+3c\ge2\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}\);\(\frac{c^2}{a}+3a\ge2\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}\)
Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được:
\(\frac{a^2}{b}+\frac{b^2}{c}+\frac{c^2}{a}+3\left(a+b+c\right)\ge\)\(2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+2\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+2\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}\)
Cần chứng minh \(2\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}+2\sqrt{2\left(b^2+c^2\right)}+2\sqrt{2\left(c^2+a^2\right)}\)\(-3\left(a+b+c\right)\)
\(\ge\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\)
hay \(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\ge a+b+c\)(*)
Sử dụng BĐT quen thuộc: \(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\)(Đẳng thức xảy ra khi x = y)
Khi đó ta được: \(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}\ge\frac{a+b}{2}\);\(\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}\ge\frac{b+c}{2}\);\(\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\ge\frac{c+a}{2}\)
Cộng theo vế của 3 BĐT trên, ta được:
\(\sqrt{\frac{a^2+b^2}{2}}+\sqrt{\frac{b^2+c^2}{2}}+\sqrt{\frac{c^2+a^2}{2}}\ge a+b+c\)(đúng với (*))
Đẳng thức xảy ra khi a = b = c
a2/b + b2/c + c2/a >= 1/can2 ( can(a2+b2) + ... )
Xét can( (a2+b2)/2 ) = can ( ( (a2/b + b)/2 )nhân(b) ) nhỏ hơn hoặc bằng (a2/b + b)/4 + b/2
Tương tự vậy ta có vế phải nhỏ hơn hoặc bằng 1/4 VT cộng với 3/4(a+b+c)
Mà VT chứng minh theo BCS lớn hơn hoặc bằng a+b+c
Suy ra VT lớn hơn hoặc bằng VP
Dấu bằng tự tìm
Cho a, b là 2 số dương. Chứng minh rằng: \(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\). Dấu của đẳng thức xảy ra khi nào?
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
a) \(a\le b\) \(\Rightarrow-a\ge-b\)
\(\Rightarrow-\frac{2}{3}a\ge-\frac{2}{3}b\) ( theo liên hệ giữa thứ tự và phép nhân )
\(\Rightarrow-\frac{2}{3}a+4\ge-\frac{2}{3}b+4\)
b) \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{ab}\ge\frac{4}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2-4ab\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\ge0\)
Vì bđt cuối luôn đúng mà các biến đổi trên là tương đương nên bđt ban đầu luôn đúng
Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow a=b\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b}{2}-\sqrt{ab}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+b-2\sqrt{ab}}{2}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{2}\ge0\) (luôn đúng)
Vậy \(\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\) (1)
\(\sqrt{ab}\ge\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}\ge\frac{2ab}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\sqrt{ab}\ge\frac{2\sqrt{ab}^2}{a+b}\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}\le1\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{ab}}{a+b}-1\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{2\sqrt{ab}-a-b}{a+b}\le0\)
\(\Leftrightarrow\frac{-\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)^2}{a+b}\le0\) (luôn đúng)
Vậy \(\sqrt{ab}\ge\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\) (2)
Từ (1) ; (2) \(\Rightarrow\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}\ge\frac{2}{\frac{1}{a}+\frac{1}{b}}\) (đpcm)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\frac{a+3c}{a+b}+\frac{a+3b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)
\(=\frac{a+c}{a+b}+\frac{2c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)
\(=2\left(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c}\right)+\left(\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}\right)\)
Áp dụng BĐT Cauchy - Schwar:
\(\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}=2\)(1)
Áp dụng BĐT Nesbit:
\(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c}\ge\frac{3}{2}\)
\(\Leftrightarrow2\left(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c}\right)\ge3\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(2\left(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c}\right)+\left(\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}\right)\ge5\)
hay \(\frac{a+3c}{a+b}+\frac{a+3b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\ge\left(đpcm\right)\)
Ta có: \(\frac{a+3c}{a+b}+\frac{a+3b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}-5\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a+3c}{a+b}-2+\frac{a+3b}{a+c}-2+\frac{2a}{b+c}-1\ge0\)
Giải bất phương trình
Cuối cùng ta được: \(\left(c-a\right)^2\left(\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}\right)+2\left(b-c\right)^2\left(\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}\right)+\left(a-b\right)^2\) \(\left(\frac{1}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\right)\ge0\)
BĐT đúng <=> a = b = c
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(BDT\Leftrightarrow\frac{a+3c}{a+b}-2+\frac{a+3b}{a+c}-2+\frac{2a}{b+c}-1\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{c-a}{a+b}+\frac{2\left(c-b\right)}{a+b}+\frac{b-a}{a+c}+\frac{2\left(b-c\right)}{a+c}+\frac{a-b}{b+c}+\frac{a-c}{b+c}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-a\right)^2\frac{1}{\left(a+b\right)\left(b+c\right)}+2\left(b-c\right)^2\frac{1}{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}+\left(a-b\right)^2\frac{1}{\left(a+c\right)\left(b+c\right)}\ge0\)
BĐT cuối đúng nên ta có ĐPCM
Xảy ra khi \(a=b=c\)
Tại t nháp luôn vào chỗ để gửi trả lời nên khi gửi ko nhìn lại nó hơi tắt. Hết dòng thứ 2, bắt đầu dòng thứ 3:
\(\Leftrightarrow\left(\frac{c-a}{a+b}+\frac{a-c}{b+c}\right)+\left(\frac{2\left(b-c\right)}{a+c}+\frac{2\left(c-b\right)}{a+b}\right)+\left(\frac{a-b}{b+c}+\frac{b-a}{a+c}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(c-a\right)\left(\frac{1}{a+b}-\frac{1}{b+c}\right)+2\left(b-c\right)\left(\frac{1}{a+c}-\frac{1}{a+b}\right)+\left(a-b\right)\left(\frac{1}{b+c}-\frac{1}{a+c}\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow....\) the last ineq in here !
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Áp dụng bđt AM - GM cho a,b,c thực dương :
\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}\ge2\sqrt{b^2}=2b\\\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\ge2c\\\dfrac{ab}{c}+\dfrac{ac}{b}\ge2a\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow2.\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\right)\ge2\left(a+b+c\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(\dfrac{ab}{c}+\dfrac{bc}{a}+\dfrac{ac}{b}\right)\ge\left(a+b+c\right)\)
Dấu "=" ⇔ a = b =c
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Mk nghĩ chỗ kia là cộng :3
\(\frac{a+3c}{a+b}+\frac{a+3b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)
\(=\frac{a+c+2c}{a+b}+\frac{a+b+2b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)
\(=\frac{a+c}{a+b}+\frac{2c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}+\frac{2b}{a+c}+\frac{2a}{b+c}\)
\(=2\left(\frac{c}{a+b}+\frac{b}{a+c}+\frac{a}{b+c}\right)+\left(\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}\right)\)
Áp dụng bđt Cauchy: \(\frac{a+c}{a+b}+\frac{a+b}{a+c}\ge2\sqrt{\frac{\left(a+c\right)\left(a+b\right)}{\left(a+b\right)\left(a+c\right)}}=2\)
Áp dụng bđt Nesbit: \(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\ge\frac{3}{2}\Leftrightarrow2\left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)\ge3\)
Cộng theo vế suy ra đpcm. "=" khi a=b=c
\(VT-VP=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{4}{a+b}=\frac{b\left(a+b\right)+a\left(a+b\right)-4ab}{ab\left(a+b\right)}\)
\(=\frac{ab+b^2+a^2+ab-4ab}{ab\left(a+b\right)}=\frac{\left(a-b\right)^2}{ab\left(a+b\right)}\)
Do a,b>0 nên ab(a+b)>0 và (a-b)2 >=0
=> VT-VP>=0 nên \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\left(dpcm\right)\)
Dấu đẳng thức xảy ra khi VT-VP=0 tức là (a-b)2 =0 => a=b
Ta có:a2+b2>2ab
=>a2+2ab+b2>4ab
=>(a+b)2>4ab
=>\(\frac{ab}{a+b}\ge\frac{4}{a+b}\)
=>\(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\ge\frac{4}{a+b}\)
Dấu "=" xảy ra <=>a=b