Cho \(x+y=2\)
C/M: \(xy\left(x^2+y^2\right)\le2\)
(Gợi ý: Dùng bất đẳng thức \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
20 tháng 11 2017
câu 1 bình phg chuyển vế cậu sẽ thấy điều kì diệu
câu 2 adbđt \(8\sqrt[4]{4x+4}=4\sqrt[4]{4.4.4\left(x+1\right)}\le x+13\)
DK
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
23 tháng 9 2020
Lời giải:
Ta có:
$x^4+y^4+(x+y)^4=(x^4+y^4+2x^2y^2)-2x^2y^2+[(x+y)^2]^2$
$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(x^2+2xy+y^2)^2$
$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(x^2+y^2)^2+(2xy)^2+4xy(x^2+y^2)$
$=2(x^2+y^2)^2+2x^2y^2+4xy(x^2+y^2)$
$=2[(x^2+y^2)^2+2xy(x^2+y^2)+(xy)^2]$
$=2(x^2+y^2+xy)^2$
Ta có đpcm.
LA
9 tháng 3 2019
\(\left|\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}\right|+\left|\frac{x+y}{2}+\sqrt{xy}\right|=\left|\frac{x+2\sqrt{xy}+y}{2}\right|+\left|\frac{x-2\sqrt{xy}+y}{2}\right|\)
=\(\left|\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{2}\right|+\left|\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{2}\right|\) (*)
Có \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge0\Rightarrow\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{2}\ge0\)
\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\Rightarrow\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{2}\ge0\)
\(\Rightarrow\) (*) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{x+2\sqrt{xy}+y+x-2\sqrt{xy}+y}{2}=\frac{2\left(x+y\right)}{2}=x+y=\left|x\right|+\left|y\right|\) ( vì x ; y >0)
Với x,y < 0 , đẳng thức trên sai ngay từ bước biến đổi (*) , vì x,y <0 thì \(\sqrt{x}\) và \(\sqrt{y}\) không xác định
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
9 tháng 3 2019
Với \(x;y< 0\) đẳng thức vẫn đúng, do \(x;y< 0\Rightarrow xy>0\) ta biến đổi như sau:
\(\left|\frac{-\left|x\right|-\left|y\right|-2\sqrt{\left|x\right|\left|y\right|}}{2}\right|+\left|\frac{-\left|x\right|-\left|y\right|+2\sqrt{\left|x\right|\left|y\right|}}{2}\right|\)
\(=\left|\frac{-\left(\left|x\right|+2\sqrt{\left|x\right|\left|y\right|}+\left|y\right|\right)}{2}\right|+\left|\frac{-\left(\left|x\right|-2\sqrt{\left|x\right|\left|y\right|}+\left|y\right|\right)}{2}\right|\)
\(=\left|\frac{-\left(\sqrt{\left|x\right|}+\sqrt{\left|y\right|}\right)^2}{2}\right|+\left|\frac{-\left(\sqrt{\left|x\right|}-\sqrt{\left|y\right|}\right)^2}{2}\right|\)
\(=\frac{\left(\sqrt{\left|x\right|}+\sqrt{\left|y\right|}\right)^2}{2}+\frac{\left(\sqrt{\left|x\right|}-\sqrt{\left|y\right|}\right)^2}{2}\)
\(=\left|x\right|+\left|y\right|\)
HK
14 tháng 5 2020
\(P=6x^2-x^3+6y^2-y^3+\frac{x+y}{xy}-x^2y-xy^2\)
\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\le6\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(\Rightarrow-\left(x^3+y^3\right)\ge-6x^2-6y^2+6xy\)
\(\Rightarrow P\ge6xy+\frac{x+y}{xy}-xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\ge\frac{4}{x+y}\ge\frac{2}{3}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=3\)
HK
16 tháng 5 2020
Tag bị với hiệu hoá rồi, tag nữa cũng ko được đâu bạn :)) Bạn vô ib trực tiếp ý :))
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
13 tháng 6 2020
\(\frac{3}{2}\ge x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{x\left(yz+1\right)^2.y\left(zx+1\right)^2.z\left(xy+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)x^2\left(xy+1\right)y^2\left(yz+1\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}\)
Xét \(Q=\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}=\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{\sqrt{xy}.\sqrt{yz}.\sqrt{zx}}\)
Đặt \(\left(\sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{zx}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c\le\frac{3}{2}\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)
\(Q=\frac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{abc}=\frac{1+a^2b^2c^2+a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc}\)
\(Q\ge\frac{1+a^2b^2c^2+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+3\sqrt[3]{a^4b^4c^4}}{abc}=\frac{1}{abc}+abc+3\left(\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{abc}\right)\)
\(Q\ge abc+\frac{1}{64abc}+3\left(\sqrt[3]{abc}+\frac{1}{4\sqrt[3]{abc}}\right)+\frac{63}{64abc}+\frac{9}{4\sqrt[3]{abc}}\)
\(Q\ge2\sqrt{\frac{abc}{64abc}}+6\sqrt{\frac{\sqrt[3]{abc}}{4\sqrt[3]{abc}}}+\frac{63}{64.\frac{1}{8}}+\frac{9}{4.\sqrt[3]{\frac{1}{8}}}=\frac{125}{8}\)
\(\Rightarrow P\ge3\sqrt[3]{Q}\ge3\sqrt[3]{\frac{125}{8}}=\frac{15}{2}\)
\(P_{min}=\frac{15}{2}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\) hay \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
27 tháng 7 2018
Chỗ dấu bằng thứ hai sai nên bạn làm cũng chưa đúng
x^6 -y^6 = (x^2-y^2)(x^4 +x^2 .y^2 + y^4)
Bạn hiểu ra chỗ sai của mình chưa.Chúc bạn học tốt.
Ta có: \(x+y=2\Rightarrow x^2+2xy+y^2=4\Rightarrow x^2+y^2=4-2xy\)
Mặt khác: \(\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge xy\)
\(\Rightarrow1\ge xy\) (thay x+y=2) và \(2\ge2xy\)
Ta có: \(xy\left(x^2+y^2\right)=xy\left(4-2xy\right)\)
=>.....