Cho \(x+y=2\)
C/M: \(xy\left(x^2+y^2\right)\le2\)
(Gợi ý: Dùng bất đẳng thức \(xy\le\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
câu 1 bình phg chuyển vế cậu sẽ thấy điều kì diệu
câu 2 adbđt \(8\sqrt[4]{4x+4}=4\sqrt[4]{4.4.4\left(x+1\right)}\le x+13\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Lời giải:
Ta có:
$x^4+y^4+(x+y)^4=(x^4+y^4+2x^2y^2)-2x^2y^2+[(x+y)^2]^2$
$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(x^2+2xy+y^2)^2$
$=(x^2+y^2)^2-2x^2y^2+(x^2+y^2)^2+(2xy)^2+4xy(x^2+y^2)$
$=2(x^2+y^2)^2+2x^2y^2+4xy(x^2+y^2)$
$=2[(x^2+y^2)^2+2xy(x^2+y^2)+(xy)^2]$
$=2(x^2+y^2+xy)^2$
Ta có đpcm.
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\left|\frac{x+y}{2}-\sqrt{xy}\right|+\left|\frac{x+y}{2}+\sqrt{xy}\right|=\left|\frac{x+2\sqrt{xy}+y}{2}\right|+\left|\frac{x-2\sqrt{xy}+y}{2}\right|\)
=\(\left|\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{2}\right|+\left|\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{2}\right|\) (*)
Có \(\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2\ge0\Rightarrow\frac{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)^2}{2}\ge0\)
\(\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2\ge0\Rightarrow\frac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)^2}{2}\ge0\)
\(\Rightarrow\) (*) \(\Leftrightarrow\) \(\frac{x+2\sqrt{xy}+y+x-2\sqrt{xy}+y}{2}=\frac{2\left(x+y\right)}{2}=x+y=\left|x\right|+\left|y\right|\) ( vì x ; y >0)
Với x,y < 0 , đẳng thức trên sai ngay từ bước biến đổi (*) , vì x,y <0 thì \(\sqrt{x}\) và \(\sqrt{y}\) không xác định
Với \(x;y< 0\) đẳng thức vẫn đúng, do \(x;y< 0\Rightarrow xy>0\) ta biến đổi như sau:
\(\left|\frac{-\left|x\right|-\left|y\right|-2\sqrt{\left|x\right|\left|y\right|}}{2}\right|+\left|\frac{-\left|x\right|-\left|y\right|+2\sqrt{\left|x\right|\left|y\right|}}{2}\right|\)
\(=\left|\frac{-\left(\left|x\right|+2\sqrt{\left|x\right|\left|y\right|}+\left|y\right|\right)}{2}\right|+\left|\frac{-\left(\left|x\right|-2\sqrt{\left|x\right|\left|y\right|}+\left|y\right|\right)}{2}\right|\)
\(=\left|\frac{-\left(\sqrt{\left|x\right|}+\sqrt{\left|y\right|}\right)^2}{2}\right|+\left|\frac{-\left(\sqrt{\left|x\right|}-\sqrt{\left|y\right|}\right)^2}{2}\right|\)
\(=\frac{\left(\sqrt{\left|x\right|}+\sqrt{\left|y\right|}\right)^2}{2}+\frac{\left(\sqrt{\left|x\right|}-\sqrt{\left|y\right|}\right)^2}{2}\)
\(=\left|x\right|+\left|y\right|\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(P=6x^2-x^3+6y^2-y^3+\frac{x+y}{xy}-x^2y-xy^2\)
\(x^3+y^3=\left(x+y\right)\left(x^2-xy+y^2\right)\le6\left(x^2-xy+y^2\right)\)
\(\Rightarrow-\left(x^3+y^3\right)\ge-6x^2-6y^2+6xy\)
\(\Rightarrow P\ge6xy+\frac{x+y}{xy}-xy\left(x+y\right)\)
\(\Rightarrow P\ge\frac{x+y}{xy}=\frac{1}{y}+\frac{1}{x}\ge\frac{4}{x+y}\ge\frac{2}{3}\)
\("="\Leftrightarrow x=y=3\)
Tag bị với hiệu hoá rồi, tag nữa cũng ko được đâu bạn :)) Bạn vô ib trực tiếp ý :))
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
\(\frac{3}{2}\ge x+y+z\ge\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{zx}\)
\(P\ge3\sqrt[3]{\frac{x\left(yz+1\right)^2.y\left(zx+1\right)^2.z\left(xy+1\right)^2}{z^2\left(zx+1\right)x^2\left(xy+1\right)y^2\left(yz+1\right)}}=3\sqrt[3]{\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}}\)
Xét \(Q=\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{xyz}=\frac{\left(xy+1\right)\left(yz+1\right)\left(zx+1\right)}{\sqrt{xy}.\sqrt{yz}.\sqrt{zx}}\)
Đặt \(\left(\sqrt{xy};\sqrt{yz};\sqrt{zx}\right)=\left(a;b;c\right)\Rightarrow a+b+c\le\frac{3}{2}\Rightarrow abc\le\frac{1}{8}\)
\(Q=\frac{\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)}{abc}=\frac{1+a^2b^2c^2+a^2+b^2+c^2+a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}{abc}\)
\(Q\ge\frac{1+a^2b^2c^2+3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+3\sqrt[3]{a^4b^4c^4}}{abc}=\frac{1}{abc}+abc+3\left(\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}+\sqrt[3]{abc}\right)\)
\(Q\ge abc+\frac{1}{64abc}+3\left(\sqrt[3]{abc}+\frac{1}{4\sqrt[3]{abc}}\right)+\frac{63}{64abc}+\frac{9}{4\sqrt[3]{abc}}\)
\(Q\ge2\sqrt{\frac{abc}{64abc}}+6\sqrt{\frac{\sqrt[3]{abc}}{4\sqrt[3]{abc}}}+\frac{63}{64.\frac{1}{8}}+\frac{9}{4.\sqrt[3]{\frac{1}{8}}}=\frac{125}{8}\)
\(\Rightarrow P\ge3\sqrt[3]{Q}\ge3\sqrt[3]{\frac{125}{8}}=\frac{15}{2}\)
\(P_{min}=\frac{15}{2}\) khi \(a=b=c=\frac{1}{2}\) hay \(x=y=z=\frac{1}{2}\)
![](https://rs.olm.vn/images/avt/0.png?1311)
Chỗ dấu bằng thứ hai sai nên bạn làm cũng chưa đúng
x^6 -y^6 = (x^2-y^2)(x^4 +x^2 .y^2 + y^4)
Bạn hiểu ra chỗ sai của mình chưa.Chúc bạn học tốt.
Ta có: \(x+y=2\Rightarrow x^2+2xy+y^2=4\Rightarrow x^2+y^2=4-2xy\)
Mặt khác: \(\frac{\left(x+y\right)^2}{4}\ge xy\)
\(\Rightarrow1\ge xy\) (thay x+y=2) và \(2\ge2xy\)
Ta có: \(xy\left(x^2+y^2\right)=xy\left(4-2xy\right)\)
=>.....