Giải hệ phương trình :
\(\left\{{}\begin{matrix}2xy=x+y+1\\2yz=y+z+7\\2zx=z+x+2\end{matrix}\right.\)
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Giải hệ phương trình :
\(\left\{{}\begin{matrix}2xy=x+y+1\\2yz=y+z+7\\2zx=z+x+2\end{matrix}\right.\)
Ta có :
\(x^2+y^2+z^2=1\)
Thay vào biểu thức thứ 2 :
\(x^2+y^2-2xy+2yz-2zx+1=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2+2yz+z^2+x^2-2zx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y+z\right)^2+x\left(x-2z\right)=0\)
Mà \(\left(x-y\right)^2\ge0;\left(y+z\right)^2\ge0\)
=> Để biểu thức bằng 0 : \(x\left(x-2z\right)=0;\left(x-y\right)=0;\left(y+z\right)=0\)
Xảy ra hai trường hợp :
TH1 :
x = 0
x - y = 0
y + z =0
=> x = y = z = 0 ( loại vì x^2 + y^2 +z ^2 = 0 ) (1)
TH2
x- 2z = 0
x - y = 0
y +z = 0
Trừ x - 2z - x + y =0 => - 2z + y = 0 (2 )
y +z = 0 (3)
Giai hệ (2) ,(3) có : y =z = 0 => x = 0 (loại vì x^2 + y^2 +z ^2 = 1 )(4)
Từ (1) , (4) :
=> Phương trình vô nghiệm .
P/s : đừng ném gạch nha
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=1\left(1\right)\\x^2+y^2-2xy+2yz-2xz+1=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Thay \(1=x^2+y^2+z^2\)vào phương trình (2):
\(2x^2+2y^2+z^2-2xy+2yz-2xz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y-z\right)^2+x^2+y^2=0\)
mà \(\left(x-y-z\right)^2;x^2;y^2\)không âm
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y-z=0\\x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=z=0\)(mâu thuẫn với (1))
Vậy HPT vô nghiệm
Lấy pt 2 trừ 2 lần pt 1:
\(3x^2-4y^3=3y^3-4x^2+7\Leftrightarrow y^3=x^2-1\)
Lấy pt 2 trừ 2 lần pt 3:
\(x^2-2y^2-4xy=3y^3+2z^2+7-4xz-4yz-4\)
\(\Leftrightarrow x^2-2y^2-4xy=3\left(x^2-1\right)+2z^2+7-4xz-4yz-4\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xy-2yz-2zx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x+y-z\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x+y=z\)
Hy vọng nó giúp được bạn
Lời giải:
$x,y,z>0$ thì $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ mới xác định.
Áp dụng BĐT AM-GM:
$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$. Thay vào pt $(2)$:
$x^3=x^2+x+2$
$\Leftrightarrow x^3-x^2-x-2=0$
$\Leftrightarrow x^2(x-2)+x(x-2)+(x-2)=0$
$\Leftrightarrow (x^2+x+1)(x-2)=0$
Dễ thấy $x^2+x+1>0$ với mọi $x>0$ nên $x-2=0$
$\Rightarrow x=2$
Vậy hpt có nghiệm $(x,y,z)=(2,2,2)$
\(\left\{{}\begin{matrix}\left(x+1\right)\left(x^2+1\right)=y^3+1\\\left(y+1\right)\left(y^2+1\right)=z^3+1\\\left(z+1\right)\left(z^2+1\right)=x^3+1\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^3+x^2+x=y^3\left(1\right)\\y^3+y^2+y=z^3\\z^3+z^2+z=x^3\end{matrix}\right.\)
Giả sử \(x>y\Rightarrow x^3+x^2+x>y^3+y^2+y\)
\(\Rightarrow y^3>z^3\Leftrightarrow y>z\left(2\right)\)
\(\Rightarrow y^3+y^2+y>z^3+z^2+z\Rightarrow z>x\left(3\right)\)
Từ \(\left(2\right);\left(3\right)\Rightarrow y>x\) (Vô lí)
Giả sử \(x< y\Rightarrow x^3+x^2+x< y^3+y^2+y\)
\(\Rightarrow y^3< z^3\Leftrightarrow y< z\left(4\right)\)
\(\Rightarrow y^3+y^2+y< z^3+z^2+z\Rightarrow z< x\left(5\right)\)
Từ \(\left(4\right);\left(5\right)\Rightarrow y< x\) (Vô lí)
\(\Rightarrow x=y=z\)
\(\left(1\right)\Leftrightarrow x^3+x^2+x=x^3\)
\(\Leftrightarrow x\left(x+1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow x=y=z=0\) hoặc \(x=y=z=-1\)