Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Ta có :
\(x^2+y^2+z^2=1\)
Thay vào biểu thức thứ 2 :
\(x^2+y^2-2xy+2yz-2zx+1=0\)
\(\Leftrightarrow x^2-2xy+y^2+y^2+2yz+z^2+x^2-2zx=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y\right)^2+\left(y+z\right)^2+x\left(x-2z\right)=0\)
Mà \(\left(x-y\right)^2\ge0;\left(y+z\right)^2\ge0\)
=> Để biểu thức bằng 0 : \(x\left(x-2z\right)=0;\left(x-y\right)=0;\left(y+z\right)=0\)
Xảy ra hai trường hợp :
TH1 :
x = 0
x - y = 0
y + z =0
=> x = y = z = 0 ( loại vì x^2 + y^2 +z ^2 = 0 ) (1)
TH2
x- 2z = 0
x - y = 0
y +z = 0
Trừ x - 2z - x + y =0 => - 2z + y = 0 (2 )
y +z = 0 (3)
Giai hệ (2) ,(3) có : y =z = 0 => x = 0 (loại vì x^2 + y^2 +z ^2 = 1 )(4)
Từ (1) , (4) :
=> Phương trình vô nghiệm .
P/s : đừng ném gạch nha
\(\left\{{}\begin{matrix}x^2+y^2+z^2=1\left(1\right)\\x^2+y^2-2xy+2yz-2xz+1=0\left(2\right)\end{matrix}\right.\)
Thay \(1=x^2+y^2+z^2\)vào phương trình (2):
\(2x^2+2y^2+z^2-2xy+2yz-2xz=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-y-z\right)^2+x^2+y^2=0\)
mà \(\left(x-y-z\right)^2;x^2;y^2\)không âm
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x-y-z=0\\x=0\\y=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow x=y=z=0\)(mâu thuẫn với (1))
Vậy HPT vô nghiệm
Lời giải:
$x,y,z>0$ thì $\frac{1}{x}, \frac{1}{y}, \frac{1}{z}$ mới xác định.
Áp dụng BĐT AM-GM:
$(x+y+z)(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})\geq 3\sqrt[3]{xyz}.3\sqrt[3]{\frac{1}{xyz}}=9$
Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z$. Thay vào pt $(2)$:
$x^3=x^2+x+2$
$\Leftrightarrow x^3-x^2-x-2=0$
$\Leftrightarrow x^2(x-2)+x(x-2)+(x-2)=0$
$\Leftrightarrow (x^2+x+1)(x-2)=0$
Dễ thấy $x^2+x+1>0$ với mọi $x>0$ nên $x-2=0$
$\Rightarrow x=2$
Vậy hpt có nghiệm $(x,y,z)=(2,2,2)$
\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=\dfrac{1}{2}-y\\y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}x=-\dfrac{1}{2}\\y=1\end{matrix}\right.\Leftrightarrow x,y\in\varnothing\left(x,y\in Z\right)\)
b) Áp dụng bđt Svac-xơ:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{9}{y}+\dfrac{16}{z}\ge\dfrac{\left(1+3+4\right)^2}{x+y+z}\ge\dfrac{64}{4}=16>9\)
=> hpt vô nghiệm
c) Ở đây x,y,z là các số thực dương
Áp dụng cosi: \(x^4+y^4+z^4\ge x^2y^2+y^2z^2+z^2x^2\ge xyz\left(x+y+z\right)=3xyz\)
Dấu = xảy ra khi \(x=y=z=\dfrac{3}{3}=1\)