Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến MA,MB với (O) (A,B là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AB với OM; I là trung điểm của MH. Đường thẳng AI cắt (O) tại điêm K (K khác A)
a) Chứng minh KH vuông góc AI
b) Tính số đo góc MKB
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
16 tháng 12 2023
a: Xét (O) có
MA,MB là các tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
=>M nằm trên đường trung trực của BA(1)
Ta có: OA=OB
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO\(\perp\)AB tại trung điểm H của AB
b: Xét (O) có
\(\widehat{MAP}\) là góc tạo bởi tiếp tuyến AM và dây cung AP
\(\widehat{AQP}\) là góc nội tiếp chắn cung AP
Do đó: \(\widehat{MAP}=\widehat{AQP}\)
=>\(\widehat{MAP}=\widehat{MQA}\)
Xét ΔMAP và ΔMQA có
\(\widehat{MAP}=\widehat{MQA}\)
\(\widehat{AMP}\) chung
Do đó: ΔMAP đồng dạng với ΔMQA
=>\(\dfrac{MA}{MQ}=\dfrac{AP}{QA}\left(1\right)\)
Xét (O) có
ΔQAP nội tiếp
QP là đường kính
Do đó: ΔQAP vuông tại A
Xét ΔHAP vuông tại H và ΔHQA vuông tại H có
\(\widehat{HAP}=\widehat{HQA}\left(=90^0-\widehat{HPA}\right)\)
Do đó: ΔHAP đồng dạng với ΔHQA
=>\(\dfrac{HA}{HQ}=\dfrac{AP}{QA}\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\dfrac{MA}{MQ}=\dfrac{HA}{HQ}\)
=>\(MA\cdot HQ=MQ\cdot HA\)
17 tháng 12 2021
a: Xét tứ giác MAOB có
\(\widehat{OAM}+\widehat{OBM}=180^0\)
Do đó: MAOB là tứ giác nội tiếp
17 tháng 12 2021
a) Ta có
MAMA là tiếp tuyến của đường tròn (gt)
⇒⇒ MA⊥OAMA⊥OA => ˆMAO=90°MAO^=90°
MBMB là tiếp tuyến của đường tròn (gt)
⇒⇒ MB⊥OBMB⊥OB => ˆMBO=90°MBO^=90°
Xét tứ giác MAOBMAOB có ˆMAO+ˆMBO=180°MAO^+MBO^=180° mà chúng ở vị trí đối nhau
⇒⇒ tứ giác MAOBMAOB là tứ giác nội tiếp
⇒⇒ M,A,O,BM,A,O,B cùng thuộc 11 đường tròn
b) Ta có MA,MBMA,MB là 2 tiếp tuyến cắt nhau tại MM
⇒⇒ MA=MBMA=MB ⇒⇒ MOMO là tia phân giác ˆAMBAMB^
Xét ΔAMI∆AMI và ΔBMI∆BMI
Có MA=MBMA=MB (cmt)
ˆAMI=ˆBMIAMI^=BMI^ (cmt)
MIMI chung => ΔAMI=ΔBMI∆AMI=∆BMI (c.g.c)
⇒⇒ ˆAIM=ˆBIMAIM^=BIM^
Mà ˆAIM+ˆBIM=180°AIM^+BIM^=180° (kề bù)
⇒⇒ ˆAIM=180°2=90°AIM^=180°2=90°
⇒⇒ MO⊥ABMO⊥AB tại II
c) Ta có: ˆBDC=90°BDC^=90°(Góc nội tiếp chắn đường kính BCBC)
⇒⇒ ΔBDC∆BDC vuông tại D⇒BD⊥CDD⇒BD⊥CD
ΔBCM⊥BΔBCM⊥B (do BMBM là tiếp tuyến của (O))
Hệ thức lượng vào ΔBCM⊥B,BD⊥CDΔBCM⊥B,BD⊥CD (chứng minh trên) ta có:
BM2=MD.MCBM2=MD.MC (1)
Xét ΔMAO∆MAO vuông tại A
AI⊥OMAI⊥OM (Vì AB⊥OMAB⊥OM) ⇒⇒ AM2=MI.MOAM2=MI.MO (2)
mà AM=BMAM=BM (tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau) (3)
Từ (1), (2) và (3) ⇒⇒ MD.MC=MA2=MI.MOMD.MC=MA2=MI.MO
d) Xét ΔEOM∆EOM cà ΔIOF∆IOF
ˆEOMEOM^ chung
ˆOIF=ˆOEM=90°OIF^=OEM^=90° (gt &cm)
⇒⇒ ΔEOM∼ΔIOF∆EOM∼∆IOF (g.g)
⇒⇒ OEOI=OMOFOEOI=OMOF (tỉ số đồng dạng)
⇒⇒ OE.OF=OM.OIOE.OF=OM.OI
Lại có ΔOAM∆OAM vuông tại AA
Mà AI⊥OMAI⊥OM (cmt)
⇒⇒ OA2=OI.OMOA2=OI.OM Mà OA=OC=ROA=OC=R
⇒⇒ OC2=OF.OEOC2=OF.OE
⇒⇒ OCOE=OFOCOCOE=OFOC
Xét ΔOCF∆OCF và ΔOCE∆OCE có
ˆCOFCOF^ chung
OCOE=OFOCOCOE=OFOC
⇒⇒ ΔOCF∼ΔOEC∆OCF∼∆OEC (c.g.c)(c.g.c)
⇒⇒ ˆOFC=ˆOCE=90°OFC^=OCE^=90°
⇒⇒ OC⊥CFOC⊥CF tại C
⇒⇒ FCFC là tiếp tuyến của đường tròn
(ĐPCM)
7 tháng 11 2021
a: Xét (O) có
MA là tiếp tuyến
MB là tiếp tuyến
Do đó: MA=MB
hay M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OA=OB
nên O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1) và (2) suy ra MO là đường trung trực của AB
hay MO⊥AB
P/S: Không hiểu Sketpad sao mà lúc nào vẽ hình cũng siêu to khổng lồ
a) Vẽ đường kính AC của đường tròn (O)
Ta có ^ABC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)
MA, MB là các tiếp tuyến của đường tròn (O;R)
=> MA = MB, MP là tia phân giác của ^AMB (t/c hai tiếp tuyến cắt nhau)
=> \(\Delta\)MAB cân tại M , MH là đường phân giác
=> MH là đường cao, đường trung tuyến của \(\Delta\)MAB
=> MO\(\perp\)AB, AH = HB = \(\frac{AB}{2}\)
Xét \(\Delta\)HAM và \(\Delta\)BCA có:
^AHM = ^CBA ( =900)
^HAM = ^BCA (hệ quả tạo bởi góc tiếp tuyến và dây cung)
Do đó \(\Delta\)HAM ~ \(\Delta\)BCA (g.g) => \(\frac{AH}{BC}=\frac{MH}{AB}\)
=> \(\frac{AH}{BC}=\frac{2IH}{2HB}\Rightarrow\frac{AH}{BC}=\frac{MH}{AB}\)
Xét \(\Delta\)AHI và \(\Delta\)CHB có:
^AHI = ^CHB (=900)
\(\frac{AH}{BC}=\frac{IH}{HB}\)
Do đó \(\Delta AHI~\Delta CBH\left(c.g.c\right)\)=> ^IAH = ^HCB
Mà ^IAH = ^KCB ( hai góc nội tiếp cùng chắn cung BK)
Do đó ^HCB = ^KCB => Hai tia CH, CK trùng nhau
=> C, H, K thẳng hàng
Mà ^AKC = 900 (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn.
Vậy \(HK\perp\)AI (đpcm)
b) Ta có ^KHM = ^KAB (cùng phụ với ^KHA)
và ^KBM = ^KAB (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BK)
Do đó ^KHM = ^KBM => Tứ giác KHBM nội tiếp
=> ^MKB = ^MHB
Mà ^MHB = 900 (OM vuông góc AB)
Vậy ^MKB = 900
Đề bài:
Từ một điểm M ở ngoài đường tròn (O), kẻ tiếp tuyến MA,MB với (O) (A,B là tiếp điểm). Gọi H là giao điểm của AB với OM; I là trung điểm của MH. Đường thẳng AI cắt (O) tại điêm K (K khác A)
a) Chứng minh KH vuông góc AI
b) Tính số đo góc MKB
Trả lời: ...