Question

[Tô Mai Phương]

Các bạn giải giúp mình phần 4 bài này nhé

Tam giác ABC vuông tại A có đường cao AH
1.Chứng minh tam giác ABC đồng dạng tam giác HBA. Từ đó suy ra AB^2 = BC × BH
2. Kẻ phân giác BD của góc ABC, D thuộc AC, BD cắt AH tại E Chứng minh rằng AB×HE=AD×HB
3.Chứng minh tam giác ADE cân
4. Kẻ DF vuông góc với BC, F thuộc BC. Giả sử AB = 3 BH tính tỉ số diện tích của tam giác HEF và tam giác HAC.

Answer 1

[Nguyễn Thị Diễm Quỳnh]

4. Có \(\left\{{}\begin{matrix}DF\perp BC\\AH\perp BC\end{matrix}\right.\Rightarrow DF//AH\)

Xét \(\Delta AHC\) có DF//AH

\(\Rightarrow\frac{CF}{FH}=\frac{CD}{DA}\) (1)

Xét \(\Delta ABH\) có BE là phân giác

\(\Rightarrow\frac{BH}{AB}=\frac{HE}{AE}\) (2)

Xét \(\Delta ABC\) có BD là phân giác

\(\Rightarrow\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}\) (3)

mà \(\frac{AB}{CB}=\frac{BH}{AB}\) và từ (1) ;(2) và (3) \(\Rightarrow\frac{CF}{FH}=\frac{HE}{AE}\)

\(\Rightarrow EF//AC\Rightarrow\Delta HEF\sim\Delta HAC\)

\(\Rightarrow\frac{S_{\Delta HEF}}{S_{\Delta HAC}}=\left(\frac{1}{9}\right)^2=\frac{1}{81}\)

Answer 2

[Nguyễn Việt Lâm]

Từ câu a ta có \(AB^2=BC.BH\Rightarrow AB^2=BC.\frac{AB}{3}\Rightarrow BC=3AB\)

Do BD là phân giác góc \(\widehat{B}\Rightarrow\) BE là phân giác \(\widehat{B}\)

\(\Rightarrow\frac{AE}{EH}=\frac{AB}{BH}=3\Rightarrow\frac{AH-EH}{EH}=3\Rightarrow\frac{AH}{EH}=4\Rightarrow AH=4EH\)

Do \(\left\{{}\begin{matrix}AH\perp BC\\DF\perp BC\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow DF//AH\Rightarrow\frac{HF}{HC}=\frac{AD}{AC}\) (1)

Mặt khác theo t/c phân giác:

\(\frac{DC}{AD}=\frac{BC}{AB}=3\Rightarrow\frac{AC-AD}{AD}=3\Rightarrow\frac{AC}{AD}=4\Rightarrow\frac{AD}{AC}=\frac{1}{4}\) (2)

Từ (1), (2) \(\Rightarrow\frac{HF}{HC}=\frac{1}{4}\Rightarrow HC=4HF\)

\(\Rightarrow\frac{S_{HEF}}{S_{HAC}}=\frac{\frac{1}{2}.EH.HF}{\frac{1}{2}AH.HC}=\frac{EH.HF}{AH.HC}=\frac{EH.HF}{4EH.4HF}=\frac{1}{16}\)