K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

22 tháng 3 2019

Vì a ; b dương , áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương , ta có :

\(a^2+b^2\ge2ab\Rightarrow2\ge2ab\Rightarrow ab\le1\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số , ta có :

\(M=\frac{a^3}{2016a+2017b}+\frac{b^3}{2017a+2016b}=\frac{a^4}{2016a^2+2017ab}+\frac{b^4}{2017ab+2016b^2}\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2016a^2+2017ab+2017ab+2016b^2}=\frac{4}{2016\left(a^2+b^2\right)+4034ab}\)

\(\ge\frac{4}{2016.2+4034.1}=\frac{4}{8066}=\frac{2}{4033}\)

Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=1\)

1 tháng 8 2020

Chứng minh \(\frac{m^2}{p}+\frac{n^2}{q}\ge\frac{\left(m+n\right)^2}{p+q}\) với \(p,q>0\)(*) (dễ chứng minh bằng biến đổi tương đương).

Áp dụng BĐT (*) vào bài toán, ta có:

\(M=\frac{a^3}{2016a+2017b}+\frac{b^3}{2017a+2016b}\)

\(=\frac{a^4}{2016a^2+2017ab}+\frac{b^4}{2017ab+2016b^2}\)

\(=\frac{\left(a^2\right)^2}{2016a^2+2017ab}+\frac{\left(b^2\right)^2}{2017ab+2016b^2}\)

\(\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2016\left(a^2+b^2\right)+4034ab}\)(1)

Mà \(ab\le\frac{a^2+b^2}{2}\)nên \(\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2016\left(a^2+b^2\right)+4034ab}\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2016\left(a^2+b^2\right)+4034.\frac{a^2+b^2}{2}}=\frac{2^2}{2016.2+4034.\frac{2}{2}}=\frac{2}{4033}\)(2)

Từ (1) và (2) ta có \(M\ge\frac{2}{4033}.\)

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=1.\)

Vậy \(M_{min}=\frac{2}{4033}\)khi \(a=b=1.\)

2 tháng 8 2020

M=\(\left[\frac{a^3}{2016a+2017b}+\frac{a\left(2016a+2017b\right)}{4033^2}\right]+\left[\frac{b^3}{2017a+2016b}+\frac{b\left(2017a+2016b\right)}{4033^2}\right]-\frac{2016\left(a^2+b^2\right)+4034ab}{4033^2}\)

\(\ge\frac{2a^2}{4033}+\frac{2b^2}{4033}-\frac{2016\left(a^2+b^2\right)+4034\frac{a^2+b^2}{2}}{4033^2}=\frac{a^2+b^2}{4033}=\frac{2}{4033}\)

dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=1

NV
14 tháng 9 2020

\(M=\frac{a^4}{2016a^2+2017ab}+\frac{b^4}{2016b^2+2017ab}\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2016\left(a^2+b^2\right)+2017.2ab}\)

\(M\ge\frac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2016\left(a^2+b^2\right)+2017\left(a^2+b^2\right)}=\frac{2}{4033}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=1\)

8 tháng 5 2017

Ta có: \(a^2+b^2\ge2\sqrt{a^2b^2}=2ab\) (Theo BĐT cô si;a,b dương)

\(\Leftrightarrow2\ge2ab\Rightarrow ab\le1\) (Vì \(a^2+b^2=2\))

\(\Rightarrow4034ab\le4034\Rightarrow4032+4034ab\le8066\) (1)

Lại có: \(M=\dfrac{a^3}{2016a+2017b}+\dfrac{b^3}{2017a+2016b}\)

\(\Leftrightarrow M=\dfrac{a^4}{2016a^2+2017ab}+\dfrac{b^4}{2017ab+2016b^2}\) (2)

Áp dụng bất đẳng thức cô si dạng engel vào (2) được:

\(M\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2016a^2+2017ab+2017ab+2016b^2}=\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2016\left(a^2+b^2\right)+4034ab}\)

\(\Leftrightarrow M\ge\dfrac{2^2}{2016\cdot2+4034ab}=\dfrac{4}{4032+4034ab}\) ( vì \(a^2+b^2=2\)) (3)

Từ (1);(3)\(\Rightarrow M\ge\dfrac{4}{8066}=\dfrac{2}{4033}\)

Vậy min \(M=\dfrac{2}{4033}\) khi a=b=1

7 tháng 2 2018

\(M=\dfrac{a^3}{2016a+2017b}+\dfrac{b^3}{2017a+2016b}=\dfrac{a^4}{2016a^2+2017ab}+\dfrac{b^4}{2017ab+2016b^2}\)

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz:

\(M\ge\dfrac{\left(a^2+b^2\right)^2}{2016\left(a^2+b^2\right)+4034ab}=\dfrac{4}{4032+4034ab}\)

AM-GM: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow2ab\le2\Leftrightarrow ab\le1\Leftrightarrow4034ab\le4034\)

Hay: \(M\ge\dfrac{4}{4032+4034}=\dfrac{4}{8066}=\dfrac{2}{4033}\)

25 tháng 4 2018

tham khảo bài tương tự này :  

Câu hỏi của so yeoung cheing - Toán lớp 7 - Học toán với OnlineMath

1 tháng 8 2018

Ta có bđt \(ab^2+bc^2+ca^2\le\frac{1}{3}\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2\right)=a^2+b^2+c^2\)

\(P=2017\left(\frac{a^3}{1+b^2}+\frac{b^3}{1+c^2}+\frac{c^3}{1+a^2}\right)\)

Ta có: \(\frac{a^3}{1+b^2}+\frac{a\left(1+b^2\right)}{4}\ge2\sqrt{\frac{a^3}{1+b^2}.\frac{a\left(1+b^2\right)}{4}}=a^2\)

Tương tự suy ra \(\frac{a^3}{1+b^2}+\frac{b^3}{1+c^2}+\frac{c^3}{1+a^2}\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{1}{4}\left(a+b+c\right)-\frac{1}{4}\left(ab^2+bc^2+ca^2\right)\)

\(\ge\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{3}{4}-\frac{1}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)=\frac{3}{4}\left(a^2+b^2+c^2\right)-\frac{3}{4}\ge\frac{3}{4}.3-\frac{3}{4}=\frac{3}{2}\)

12 tháng 4 2019

3/Câu hỏi của không tên - toán 8 :)

12 tháng 4 2019

bạn nào xàm dữ :((

NV
30 tháng 8 2021

\(\dfrac{a^5}{b^3+c^2}+\dfrac{b^3+c^2}{4}+\dfrac{a^4}{2}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{a^9.\left(b^3+c^2\right)}{8\left(b^3+c^2\right)}}=\dfrac{3a^3}{2}\)

Tương tự và cộng lại:

\(\Rightarrow M-\dfrac{a^4+b^4+c^4}{2}+\dfrac{a^3+b^3+c^3}{4}+\dfrac{a^2+b^2+c^2}{4}\ge\dfrac{3}{2}\left(a^3+b^3+c^3\right)\)

\(\Rightarrow M\ge\dfrac{a^4+b^4+c^4}{2}+\dfrac{5}{4}\left(a^3+b^3+c^3\right)-\dfrac{3}{4}\)

Mặt khác ta có:

\(\dfrac{1}{2}\left(a^4+b^4+c^4\right)\ge\dfrac{1}{6}\left(a^2+b^2+c^2\right)^2=\dfrac{3}{2}\)

\(\left(a^3+a^3+1\right)+\left(b^3+b^3+1\right)+\left(c^3+c^3+1\right)\ge3\left(a^2+b^2+c^2\right)=9\)

\(\Rightarrow2\left(a^3+b^3+c^3\right)+3\ge9\Rightarrow a^3+b^3+c^3\ge3\)

\(\Rightarrow M\ge\dfrac{3}{2}+\dfrac{15}{4}-\dfrac{3}{4}=...\)

25 tháng 10 2019

Có vài cách giải nhưng mình thấy cách này nhanh và đẹp ne.

\(\sqrt{2017a+bc}=\sqrt{\left(a+b+c\right)a+bc}=\sqrt{a^2+ab+bc+ca}=\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\le\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\)

\(\Rightarrow\frac{a}{a+\sqrt{2017a+bc}}\le\frac{a}{a+\sqrt{ab}+\sqrt{bc}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}\)

Tương tự rồi cộng lại, ta được:

\(P\le\frac{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}}=1\)

Dấu "=" khi \(a=b=c=\frac{2017}{3}\)

25 tháng 10 2019

Luân Đào: đoạn \(\sqrt{\left(a+b\right)\left(c+a\right)}\le\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\) ngược dấu thì phải anh ơi:))

Áp dụng BĐT Bunyakovski thì \(\left(a+b\right)\left(c+a\right)\ge\left(\sqrt{ac}+\sqrt{ab}\right)^2\)

Từ đó..