Question

[Nguyễn Thị Thu Hằng]

Cho ba số thực dương a, b,c biết abc=1 .Cm D\(\ge\) 1 với

D= \(\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{b+2c}+\dfrac{c}{c+2a}\)

Answer 1

[Khôi Bùi]

Áp dụng BĐT Cauchy cho 3 số dương a , b , c , ta có :

\(D=\dfrac{a}{a+2b}+\dfrac{b}{b+2c}+\dfrac{c}{c+2a}=\dfrac{a^2}{a^2+2ab}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc}+\dfrac{c^2}{c^2+2ac}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac}=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2}=1\)Dấu " = " xảy ra \(\Leftrightarrow a=b=c=1\)