Question

[Lê Minh Thư]

Cho đường tròn (O) một điểm M cố định không nằm trên đường tròn, qua M kẻ cát tuyến cắt (O) tại A và B. CMR tích MA.MB không đổi

Answer 1

[the loser]

Giải

Trường hợp M ở bên trong đường tròn (O)

Kẻ cát tuyến AB bất kỳ và kẻ đường thẳng MO cắt đường tròn tại C và D.

Xét hai ∆MAC và ∆MBD:

ˆAMC=ˆBMDAMC^=BMD^ (đối đỉnh)

ˆA=ˆDA^=D^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung BCBC⏜

Suy ra: ∆MAC đồng dạng ∆MDB (g.g)

⇒MBMC=MDMA⇒MBMC=MDMA

⇒MA.MB=MC.MD⇒MA.MB=MC.MD            (1)

Vì M, O cố định suy ra điểm C và D cố định nên độ dài của các đoạn MC và MD không đổi ⇒⇒ tích MC.MD không đổi              (2)

Từ (1) và (2) suy ra tích MA. MB không đổi khi cát tuyến AB thay đổi.

Trường hợp điểm M ở ngoài đường tròn (O)

Kẻ cát tuyến MAB bất kỳ của (O) và đường thẳng MO cắt đường tròn (O) tại C và D

Xét ∆MAD và ∆MCB:

ˆMM^ chung

ˆB=ˆDB^=D^ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung ACAC⏜)

Suy ra: ∆MAD đồng dạng ∆MCB (g.g)

⇒MC.MA=MB.MD⇒MA.MB=MC.MD⇒MC.MA=MB.MD⇒MA.MB=MC.MD               (3)

Vì M và O cố định suy ra điểm C, D cố định nên độ dài của các đoạn MC và MD không đổi ⇒⇒ tích MC. MD không đổi   (4)

Từ (3) và (4) suy ra tích MA. MB không đổi khi cát tuyến MAB thay đổi.