Cho \(x+\frac{1}{y}\le1\). Tìm GTNN của \(P=4.\frac{x}{y}+12.\frac{y}{x}+2018\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
L
3
PN
14 tháng 6 2020
Ta có : \(VP=\frac{x}{y}+\frac{y}{x}\ge2\sqrt{\frac{xy}{yx}}=2\)
Vậy \(Q_{min}=2\)với \(x=y\)
mình không chắc về phân bđt này lắm
14 tháng 6 2020
Đặt x=a, \(\frac{1}{y}=b\)\(\Rightarrow a+b\le1\)
Ta có: \(Q=ab+\frac{1}{ab}=16ab+\frac{1}{ab}-15ab\ge2\sqrt{\frac{16ab}{ab}}-\frac{15.\left(a+b\right)^2}{4}=8-\frac{15.1}{4}=\frac{17}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=\(\frac{1}{2}\)hay \(x=\frac{1}{2},y=2\)
21 tháng 7 2020
By Titu's Lemma we easy have:
\(D=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2}{2}\)
\(\ge\frac{\left(x+y+\frac{4}{x+y}\right)^2}{2}\)
\(=\frac{17}{4}\)
21 tháng 7 2020
Mk xin b2 nha!
\(P=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{xy}+4xy=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{1}{2xy}+\frac{1}{2xy}+4xy\)
\(\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{x^2+y^2+2xy}+\left(4xy+\frac{1}{4xy}\right)+\frac{1}{4xy}\)
\(\ge\frac{4}{\left(x+y\right)^2}+2\sqrt{4xy.\frac{1}{4xy}}+\frac{1}{\left(x+y\right)^2}\)
\(\ge\frac{4}{1^2}+2+\frac{1}{1^2}=4+2+1=7\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(x=y=\frac{1}{2}\)
NT
Cho x,y là các số dương thỏa mãn \(x+\frac{1}{y}\le1\) . Tìm GTNN của \(P=\frac{x}{2y}+\frac{y}{x}\)
1
30 tháng 5 2020
Đặt: \(\frac{1}{y}=t\)> 0
Ta có: \(x+t\le1\)
\(P=\frac{xt}{2}+\frac{1}{xt}=\frac{xt}{2}+\frac{1}{32xt}+\frac{31}{32xt}\ge2\sqrt{\frac{xt}{2}.\frac{1}{32xt}}+\frac{31}{\frac{32\left(x+t\right)^2}{4}}=\frac{33}{8}\)
Dấu "=" xảy ra <=> x = t = 1/2 hay x = 1/2 và y = 2
Vậy GTNN của P = 33/8 đạt tại x =1/2 và y =2 .
NT
1
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
29 tháng 6 2020
\(A\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2+4\)
\(A\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2+\frac{8}{\left(x+y\right)^2}+4=\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2+\frac{1}{2\left(x+y\right)^2}+\frac{15}{2\left(x+y\right)^2}+4\)
\(A\ge2\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)^2}}+\frac{15}{2.1}+4=\frac{25}{2}\)
\(A_{min}=\frac{25}{2}\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
20 tháng 12 2017
Trước tiên chứng minh:
\(a^4+b^4\ge a^3b+ab^3\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)\ge0\)(đúng)
\(\Rightarrow2\left(a^4+b^4\right)\ge a^4+b^4+a^3b+ab^3=\left(a+b\right)\left(a^3+b^3\right)\)
Áp dụng bài toán được
\(P=\frac{x^4+y^4}{x^3+y^3}+\frac{y^4+z^4}{y^3+z^3}+\frac{z^4+x^4}{z^3+x^3}\)
\(\ge\frac{1}{2}\left(x+y+y+z+z+x\right)=x+z+y=2018\)
TL
1
19 tháng 10 2020
Bổ đề: \(2xy\le x^2+y^2\)
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{4}{2xy}\ge\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{4}{x^2+y^2}=\frac{5}{x^2+y^2}\ge5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
TA
3
2 tháng 8 2020
Bài làm:
Ta có: \(C=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}\ge\frac{\left(1+2+3\right)^2}{x+y+z}\ge\frac{6^2}{1}=36\)
Dấu "=" xảy ra khi: \(\hept{\begin{cases}x=\frac{1}{13}\\y=\frac{4}{13}\\z=\frac{9}{13}\end{cases}}\)
HT
1
10 tháng 8 2016
\(\frac{y}{x}+\frac{x}{y}\ge2\left(Cauchy\right)\Rightarrow Min=2\Leftrightarrow x=y\)