Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Bổ đề: \(2xy\le x^2+y^2\)
\(A=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{2}{xy}=\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{4}{2xy}\ge\frac{1}{x^2+y^2}+\frac{4}{x^2+y^2}=\frac{5}{x^2+y^2}\ge5\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{\sqrt{2}}\)
Mình trình bày bạn xem đúng không nhé:
\(x^2+y^2=\left(x+y\right)^2-2xy\le1-2xy\)
\(\Rightarrow A\ge\frac{1}{1-2xy}+\frac{1}{2xy}\Rightarrow A\ge\frac{1}{\left(1-2xy\right)2xy}\)
Áp dụng BĐT Cauchy \(\sqrt{\left(1-2xy\right)2xy}\le\frac{1-2xy+2xy}{2}=\frac{1}{2}\Rightarrow\left(1-2xy\right)2xy\le\frac{1}{4}\)
\(A\ge4\) Vậy min A = 4 khi x + y = 1 và 1 - 2xy = 2xy tức là x = y = 1/2 bạn nhé
Áp dụng BĐT phụ \(4xy\le\left(x+y\right)^2\le1\)\(\Leftrightarrow xy\le\frac{1}{4}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Có \(K=\left(x+\frac{1}{x}\right)^2+\left(y+\frac{1}{y}\right)^2\)\(=x^2+2x.\frac{1}{x}+\frac{1}{x^2}+y^2+2y.\frac{1}{y}+\frac{1}{y^2}\)\(=x^2+y^2+\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+4\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(x^2\)và \(y^2\), ta có: \(x^2+y^2\ge2\sqrt{x^2y^2}=2xy\)
Tương tự, ta có \(\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}\ge2\sqrt{\frac{1}{x^2}.\frac{1}{y^2}}=\frac{2}{xy}\)
Từ đó \(K\ge2xy+\frac{2}{xy}+4\)\(=32xy+\frac{2}{xy}-30xy+4\)
Áp dụng BĐT Cô-si cho 2 số dương \(32xy\)và \(\frac{2}{xy}\), ta có: \(32xy+\frac{2}{xy}\ge2\sqrt{32xy.\frac{2}{xy}}=16\)
Lại có \(xy\le\frac{1}{4}\Leftrightarrow-xy\ge-\frac{1}{4}\)nên \(K\ge16-\frac{30}{4}+4=\frac{25}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
Vậy GTNN của K là \(\frac{25}{2}\)khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(K=x^2+\dfrac{1}{x^2}+y^2+\dfrac{1}{y^2}+4=x^2+\dfrac{1}{16x^2}+y^2+\dfrac{1}{16y^2}+\dfrac{15}{16x^2}+\dfrac{15}{16y^2}+4\ge\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}+4+\dfrac{2.15}{16xy}=5+\dfrac{2.15}{16xy}\)
\(x+y\ge2\sqrt{xy};\Rightarrow2\sqrt{xy}\le x+y\le1\Rightarrow2\sqrt{xy}\le1\Leftrightarrow xy\le\dfrac{1}{4}\)
\(\Rightarrow K\ge5+\dfrac{2.15}{16.\dfrac{1}{4}}=\dfrac{25}{2}\)
ap dung bdt cauchy schwarz ta co
\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}>=\frac{\left(x-1+z-1+y-1\right)^2}{x+y+z}=\frac{1}{2}\)
vay min=1/2
\(Q\ge2xy+\frac{2}{xy}=2xy+\frac{1}{8xy}+\frac{15}{8xy}\ge2\sqrt{\frac{2xy}{8xy}}+\frac{15}{2\left(x+y\right)^2}\ge1+\frac{15}{2}=\frac{17}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=\frac{1}{2}\)
\(\sqrt{2a^2+ab+2b^2}=\sqrt{\frac{5}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2}\ge\frac{5}{4}\left(a+b\right)\)
Tương tự cộng vế theo vế thì
\(M\ge\frac{5}{4}\left(2a+2b+2c\right)=\frac{5}{2}\left(a+b+c\right)=\frac{5}{2}\cdot2019\)
Dấu "=" xảy ra tại \(a=b=c=\frac{2019}{3}\)
bài 4 có trên mạng nha chị.tí e làm cách khác
bài 5 chị tham khảo bđt min cop ski r dùng svác là ra ạ.giờ e coi đá bóng,coi xong nghĩ tiếp ạ.
1. \(1=x^2+y^2\ge2xy\Rightarrow xy\le\frac{1}{2}\)
\(A=-2+\frac{2}{1+xy}\ge-2+\frac{2}{1+\frac{1}{2}}=-\frac{2}{3}\)
max A = -2/3 khi x=y=\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)
\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{xz}=\frac{1}{x}\left(\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right)\ge\frac{1}{x}.\frac{4}{y+z}=\frac{4}{\left(4-t\right)t}=\frac{4}{4-\left(t-2\right)^2}\ge1\) với t = y+z => x =4 -t
Chưa hiểu
\(A\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\right)^2+4\)
\(A\ge\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2+\frac{8}{\left(x+y\right)^2}+4=\frac{1}{2}\left(x+y\right)^2+\frac{1}{2\left(x+y\right)^2}+\frac{15}{2\left(x+y\right)^2}+4\)
\(A\ge2\sqrt{\frac{\left(x+y\right)^2}{4\left(x+y\right)^2}}+\frac{15}{2.1}+4=\frac{25}{2}\)
\(A_{min}=\frac{25}{2}\) khi \(x=y=\frac{1}{2}\)