cho a,b >0 thỏa mãn \(\sqrt{a}\)+\(\sqrt{b}\)=1. cmr a nhân b nhân (a+b)2 <= 1 phần 64. dấu bằng xảy ra khi nào
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
PL
10 tháng 1 2021
Từ 1a+1b+1c=0⇒ab+bc+ac=01a+1b+1c=0⇒ab+bc+ac=0
Khi đó:
(√a+c+√b+c)2=a+c+b+c+2√(a+c)(b+c)(a+c+b+c)2=a+c+b+c+2(a+c)(b+c)
=a+b+2c+2√ab+ac+bc+c2=a+b+2c+2√c2=a+b+2c+2ab+ac+bc+c2=a+b+2c+2c2
=a+b+2c+2|c|=a+b+2c+2|c|
Vì a,ba,b dương nên −1c=1a+1b>0⇒c<0⇒2|c|=−2c−1c=1a+1b>0⇒c<0⇒2|c|=−2c
Do đó:
(√a+c+√b+c)2=a+b+2c+2|c|=a+b+2c+(−2c)=a+b(a+c+b+c)2=a+b+2c+2|c|=a+b+2c+(−2c)=a+b
⇒√a+c+√b+c=√a+b
PL
10 tháng 1 2021
Từ 1a+1b+1c=0⇒ab+bc+ac=01a+1b+1c=0⇒ab+bc+ac=0
Khi đó:
(√a+c+√b+c)2=a+c+b+c+2√(a+c)(b+c)(a+c+b+c)2=a+c+b+c+2(a+c)(b+c)
=a+b+2c+2√ab+ac+bc+c2=a+b+2c+2√c2=a+b+2c+2ab+ac+bc+c2=a+b+2c+2c2
=a+b+2c+2|c|=a+b+2c+2|c|
Vì a,ba,b dương nên −1c=1a+1b>0⇒c<0⇒2|c|=−2c−1c=1a+1b>0⇒c<0⇒2|c|=−2c
Do đó:
(√a+c+√b+c)2=a+b+2c+2|c|=a+b+2c+(−2c)=a+b(a+c+b+c)2=a+b+2c+2|c|=a+b+2c+(−2c)=a+b
⇒√a+c+√b+c=√a+b
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 1:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:
$(a^2+b^2+c^2)(1+1+1)\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)\geq 1$
$\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2\geq \frac{1}{3}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{3}$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
8 tháng 3 2021
Bài 2:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(a^2+4b^2+9c^2)(1+\frac{1}{4}+\frac{1}{9})\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow 2015.\frac{49}{36}\geq (a+b+c)^2$
$\Leftrightarrow \frac{98735}{36}\geq (a+b+c)^2$
$\Rightarrow a+b+c\leq \frac{7\sqrt{2015}}{6}$ chứ không phải $\frac{\sqrt{14}}{6}$ :''>>
BC
2
OY
12 tháng 9 2021
Ta có: \(\sqrt{2}>0\)
\(\Rightarrow b\sqrt{2}\ge0\)
Mà \(a+b\sqrt{2}=0\)
\(\Rightarrow b=0,a=0\)
BC
12 tháng 9 2021
OH-YEAH^^ , bn ơi b thuộc Q thì làm sao mà \(b\sqrt{2}\ge0\) được
BC
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
3 tháng 8 2021
\(\dfrac{\sqrt{ab+2c^2}}{\sqrt{1+ab-c^2}}=\dfrac{\sqrt{ab+2c^2}}{\sqrt{a^2+b^2+ab}}=\dfrac{ab+2c^2}{\sqrt{\left(a^2+b^2+ab\right)\left(ab+2c^2\right)}}\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+2ab+2c^2}\)
\(\ge\dfrac{2\left(ab+2c^2\right)}{a^2+b^2+a^2+b^2+2c^2}=\dfrac{ab+2c^2}{a^2+b^2+c^2}=ab+2c^2\)
Tương tự và cộng lại:
\(VT\ge ab+bc+ca+2\left(a^2+b^2+c^2\right)=2+ab+bc+ca\)
T
29 tháng 1 2019
Easy!
\(A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{2}}\left[\sqrt{\left(a+b\right).\frac{2}{3}}+\sqrt{\left(b+c\right).\frac{2}{3}}+\sqrt{\left(c+a\right).\frac{2}{3}}\right]\) (*)
Áp dụng BĐT Cô si ngược,ta có:
(*) \(\le\sqrt{\frac{3}{2}}\left[\frac{a+b+\frac{2}{3}}{2}+\frac{b+c+\frac{2}{3}}{2}+\frac{c+a+\frac{2}{3}}{2}\right]\)
\(=\sqrt{\frac{3}{2}}\left(a+b+c+1\right)=\sqrt{\frac{3}{2}}.2=\sqrt{6}^{\left(đpcm\right)}\)
Dấu "=" xảy ra khi \(\hept{\begin{cases}a+b=b+c=c+a=\frac{2}{3}\\a+b+c=1\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=\frac{1}{3}\)
Áp dụng BĐT cô -si \(\left(ab\le\frac{\left(a+b\right)^2}{4}\right)\) ta có :
\(\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{ab}\left(a+b\right)\le\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(a+b+2\sqrt{ab}\right)^2}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4}{4}=\frac{1}{8}\)
<=> \(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\le\frac{1}{8}\)
<=> \(ab\left(a+b\right)^2\le\frac{1}{64}\)
Dấu '' = '' xảy ra khi a = b = \(\frac{1}{4}\)
BPT <=> \(\sqrt{ab}\left(a+b\right)\le\frac{1}{8}\)
\(\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{ab}\left(a+b\right)\le\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(a+2\sqrt{ab}+b\right)^2}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4}{4}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}\)