K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

5 tháng 8 2018

\(\sqrt{1+2+3+...+\left(n-1\right)+n+\left(n-1\right)+...+3+2+1}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2.\left[1+2+3+...+\left(n-1\right)+n\right]-n}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{2.\frac{\left(n+1\right)n}{2}-n}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{\left(n+1\right)n-n}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{n^2+n-n}\)

\(\Leftrightarrow\sqrt{n^2}=n\)

Vậy \(\sqrt{1+2+3+...+\left(n-1\right)+n+\left(n-1\right)+...+3+2+1}=n\)

17 tháng 6 2016

Ta có: \(n+\left(n+1\right)>2\sqrt{n\left(n+1\right)}\left(AM-GM\right)\) suy ra:

\(\frac{1}{\left(2n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\frac{1}{\left(2n+1\right).\frac{\left(n+1\right)-n}{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+\left(n+1\right)}< \frac{1}{2}.\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)Áp dụng vào ta có:

\(S_n< \frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\right)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2\sqrt{n+1}}< \frac{1}{2}\left(đpcm\right).\)

17 tháng 6 2016

Đây bạn:

/hoi-dap/question/55444.html

17 tháng 6 2016

/hoi-dap/question/55444.html

17 tháng 6 2016

Bạn bấn vào đây, câu hỏi của bạn có người trả lời rồi Câu hỏi của Lương Ngọc Anh - Toán lớp 9 | Học trực tuyến

14 tháng 7 2017

by AM-GM: \(\dfrac{1}{\left(n+n+1\right)\left(\sqrt{n}+\sqrt{n+1}\right)}=\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{n+n+1}\le\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n\left(n+1\right)}}\right)=\dfrac{1}{2}.\left(\dfrac{1}{\sqrt{n}}-\dfrac{1}{\sqrt{n+1}}\right)\)

30 tháng 8 2016

Vì \(n\in Z^+\)nên\(n\left(n+1\right)\left(n+2\right)>n^3\Rightarrow\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}>n\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}>n\)(1)

Lại có:\(n^2+2n+1>n^2+2n\Rightarrow\left(n+1\right)^2>n\left(n+2\right)\Rightarrow\left(n+1\right)^3>n\left(n+1\right)\left(n+2\right)\)

\(\Rightarrow n+1>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}\\ \Rightarrow\sqrt[3]{n^3+3n^2+3n+1}>\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n+n+1}>\sqrt[3]{n^3+3n^2+2n+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)

\(\Rightarrow\sqrt[3]{\left(n+1\right)^3}>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)

Tương tự \(\Rightarrow n+1>\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}\)(2)

Từ (1) và (2) suy ra:

\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}+...+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}< n+1\)

30 tháng 8 2016

\(n\in Z^+\)nên n2 < n2 + 2n < n2 + 2n + 1 <=> n2 < n(n + 2) < (n + 1)2 => n3 < n(n + 1)(n + 2) < (n + 1)3 

=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}< n+1\)

=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n}\)\(< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n+1}\)\(=\sqrt[3]{\left(n+1\right)\left(n^2+2n+1\right)}=\sqrt[3]{\left(n+1\right)\left(n+1\right)^2}=n+1\)

=>\(n< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+n}\)

\(< \sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)+\sqrt[3]{n\left(n+1\right)\left(n+2\right)}}}< n+1\)

Tiếp tục như vậy,ta có đpcm.

31 tháng 8 2023

\(A=\sqrt[]{1+2+3+...+\left(n-1\right)+n+...+3+2+1}\)

Ta có :

\(1+2+3+...+\left(n-1\right)=\left(n-1\right)+...+3+2+1=\left[\left(n-1\right)-1\right]+1\left(n-1+1\right):2\)

\(=\dfrac{\left(n-1\right)n}{2}\)

\(\Rightarrow A=\sqrt[]{\dfrac{\left(n-1\right)n}{2}.2+n}\)

\(\Rightarrow A=\sqrt[]{\left(n-1\right)n+n}\)

\(\Rightarrow A=\sqrt[]{n^2-n+n}\)

\(\Rightarrow A=\sqrt[]{n^2}\)

\(\Rightarrow A=n\left(n>0\right)\)

\(\Rightarrow dpcm\)

31 tháng 8 2023

mơn trí

30 tháng 7 2017

\(\sqrt{1+2+3+...+n-1+n-1+...+3+2+1}\)

\(=\sqrt{2\left[1+2+3+...+n-1\right]+n}\)

\(=\sqrt{\frac{2\left[n-1\right]n}{2}}+n=\sqrt{n^2}=n\)=> ĐPCM