Cho a,b,c là các số dương. Chứng minh bất đẳng thức:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
LT
Lê Thiên Anh
17 tháng 5 2018
https://i.imgur.com/8TIBI9D.jpg
Đúng(0)
Những câu hỏi liên quan
26 tháng 4 2022
-Mình thử trình bày cách làm của mình nhé, bạn xem thử có gì sai sót không hoặc chỗ nào bạn không hiểu thì hỏi mình nhé.
26 tháng 4 2022
-Thôi, mình chịu rồi. Mình dùng tất cả các BĐT như Caushy, Schwarz, Caushy 3 số... nhưng không ra.
ND
Nguyễn Đăng Nhân
CTVHS
16 tháng 2 2022
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(\dfrac{a}{a+3\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{b+3\sqrt{ca}}+\dfrac{c}{c+3\sqrt{ab}}\)
Ta áp dụng bất đẳng thức Cô si dạng \(2\sqrt{xy}\le x+y\) cho các căn thức ở mẫu, khi đó ta được:
\(\dfrac{a}{a+3\sqrt{bc}}+\dfrac{b}{b+3\sqrt{ca}}+\dfrac{c}{c+3\sqrt{ab}}\ge\) với biểu thức
\(\dfrac{2a}{2a+3b+3c}+\dfrac{2b}{3a+2b+3c}+\dfrac{2c}{3a+3b+2c}\)
Khi đó ta cần chứng minh:
\(\dfrac{2a}{2a+3b+3c}+\dfrac{2b}{3a+2b+3c}+\dfrac{2c}{3a+3b+2c}\ge\dfrac{3}{4}\)
Đặt: \(\left\{{}\begin{matrix}x=2a+3b+3c\\y=3a+2b+3c\\z=3a+3b+2c\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}2a=\dfrac{1}{4}\left(3y+3z-5x\right)\\2b=\dfrac{1}{4}\left(3z+3x-5y\right)\\2c=\dfrac{1}{4}\left(3x+3y-5z\right)\end{matrix}\right.\)
Khi đó đẳng thức trên được viết lại thành:
\(\dfrac{3y+3z-5x}{4x}+\dfrac{3z+3x-5y}{4y}+\dfrac{3x+3y-5z}{4z}\ge\dfrac{3}{4}\)
Hay: \(3\left(\dfrac{x}{y}+\dfrac{y}{x}+\dfrac{y}{z}+\dfrac{z}{y}+\dfrac{x}{z}+\dfrac{z}{x}\right)-15\ge3\)
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng theo bất đẳng thức Cô si.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c\)
16 tháng 2 2022
Đặt \(x=\sqrt{a};y=\sqrt{b};z=\sqrt{c}\)
Khi đó bđt đã tro chở thành:
\(\dfrac{yz}{x^2+3yz}+\dfrac{zx}{y^2+3zx}+\dfrac{xy}{z^2+3xy}\le\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{3}-\dfrac{yz}{x^2+3yz}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{zx}{y^2+3zx}+\dfrac{1}{3}-\dfrac{xy}{z^2+3xy}\ge1-\dfrac{3}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{x^2}{x^2+3yz}+\dfrac{y^2}{y^2+3zx}+\dfrac{z^2}{z^2+3xy}\ge\dfrac{3}{4}\) (đpcm)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
14 tháng 4 2021
\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{\sqrt{4b^2+bc+4c^2}}+\dfrac{b}{\sqrt{4c^2+ca+4a^2}}+\dfrac{c}{\sqrt{4a^2+ab+4b^2}}\ge1\)
Ta có:
\(\sum\left(\dfrac{a}{\sqrt{4b^2+bc+4c^2}}\right)^2\sum a\left(4b^2+bc+4c^2\right)\ge\left(a+b+c\right)^3\)
Nên ta chỉ cần chứng minh:
\(\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{a\left(4b^2+bc+4c^2\right)+b\left(4c^2+ac+4a^2\right)+c\left(4a^2+ab+4b^2\right)}\ge1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(a+b+c\right)^3}{4a\left(b^2+c^2\right)+4b\left(c^2+a^2\right)+4c\left(a^2+b^2\right)+3abc}\ge1\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3+c^3+3abc\ge ab\left(a+b\right)+bc\left(b+c\right)+ca\left(c+a\right)\) (đúng theo Schur bậc 3)
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
19 tháng 4 2022
Đề bài sai
Đề đúng: \(\dfrac{1}{\sqrt{a}+2\sqrt{b}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{b}+2\sqrt{c}+3}+\dfrac{1}{\sqrt{c}+2\sqrt{a}+3}\le\dfrac{1}{2}\)
HN
5 tháng 8 2017
Ta có:
\(\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}=\dfrac{a}{\sqrt{a\left(b+c\right)}}\ge\dfrac{2a}{a+b+c}\)
Tương tự ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}\ge\dfrac{2b}{a+b+c}\\\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2c}{a+b+c}\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}\ge\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=2\)
Dễ thấy dấu = không thể xảy ra nên
\(\Rightarrow\sqrt{\dfrac{a}{b+c}}+\sqrt{\dfrac{b}{c+a}}+\sqrt{\dfrac{c}{a+b}}>2\)