Question

[Gabriella Yoongie]

Huhu, ai hảo tâm giúp tớ đi, mò mãi từ chiều chưa ra T.T Ai giải được tớ like cho =))

Giải phương trình: \(\dfrac{x^4+3x^2+1}{x^3+x^2-x}=3\)

Answer 1

[DƯƠNG PHAN KHÁNH DƯƠNG]

ĐK \(x\ne0\)

\(\dfrac{x^4+3x^2+1}{x^3+x^2-x}=3\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{x^4+3x^2+1}{x^3+x^2-x}=\dfrac{3\left(x^3+x^2-x\right)}{x^3+x^2-x}\)

\(\Leftrightarrow x^4+3x^2+1=3x^3+3x^2-3x\)

\(\Leftrightarrow x^4+3x^2+1-3x^3-3x^2+3x=0\)

\(\Leftrightarrow x^4-3x^3+3x+1=0\)

Chia cả 2 vế cho \(x^2\) ta được :

\(x^2-3x+\dfrac{3}{x}+\dfrac{1}{x^2}=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x^2+\dfrac{1}{x^2}\right)-3\left(x-\dfrac{1}{x}\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^2-2-3\left(x-\dfrac{1}{x}\right)=0\)

Đặt \(x-\dfrac{1}{x}=t\) thì phương trình trở thành :

\(t^2-3t-2=0\)

\(\Leftrightarrow\left(t-1\right)\left(t-2\right)=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t-1=0\\t-2=0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}t=1\\t=2\end{matrix}\right.\)

Với \(t=1\) :

\(\Leftrightarrow x-\dfrac{1}{x}=1\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{x^2}{x}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{x}{x}\)

\(\Leftrightarrow x^2-x-1=0\)

\(\Delta=1^2+4=5>0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\x_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\end{matrix}\right.\)

Với \(t=2\) :

\(\Leftrightarrow x-\dfrac{1}{x}=2\)

\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{x^2}{x}-\dfrac{1}{x}=\dfrac{2x}{x}\)

\(\Leftrightarrow x^2-2x-1=0\)

\(\Delta=\left(-2\right)^2+4=8>0\)

\(\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x_3=\dfrac{2+\sqrt{8}}{2}=1+\sqrt{2}\\x_4=\dfrac{2-\sqrt{8}}{2}=1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy phương trình có 4 nghiệm :

\(\left[{}\begin{matrix}x_1=\dfrac{1+\sqrt{5}}{2}\\x_2=\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\\x_3=1+\sqrt{2}\\x_4=1-\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)