Cho x, y là các số không âm thỏa mãn \(x^3+y^3=2\). Chứng minh rằng: \(x^2+y^2\le2\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
AA
3
E
22 tháng 3 2021
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
\(\left(x^3+y^3\right)\left(x+y\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)
\(\Leftrightarrow2\left(x+y\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^2\)
\(\Rightarrow4\left(x+y\right)^2\ge\left(x^2+y^2\right)^4\) \(\left(1\right)\)
Áp dụng BĐT AM-GM:
\(2\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x+y\right)^2\) \(\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right),\left(2\right)\) \(\Rightarrow8\left(x^2+y^2\right)\ge\left(x^2+y^2\right)^4\)
\(\Rightarrow8\ge\left(x^2+y^2\right)^3\)
\(\Rightarrow2\ge x^2+y^2\)hay \(x^2+y^2\le2\)
PB
13 tháng 7 2021
Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho ba số dương ta có
, đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi .
Tương tự, . Cộng theo vế hai bất đẳng thức nhận được ta có
Sử dụng giả thiết suy ra đpcm. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
DM
1
55
14 tháng 6 2019
Áp dụng BĐT Bunhiacôpxki , ta có :
\(\left(x^2+y^2\right)^2=\left(\sqrt{x}.\sqrt{x^3}+\sqrt{y}.\sqrt{y^3}\right)^2\) \(\le\left(x+y\right)\left(x^3+y^3\right)=2\left(x+y\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^4\le4\left(x+y\right)^2=4\left(1.x+1.y\right)^2\le4\left(1+1\right)\left(x^2+y^2\right)=8\left(x^2+y^2\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(x^2+y^2\right)^3\le8\)
\(\Leftrightarrow x^2+y^2\le2\left(\text{đ}pcm\right)\)
Dấu "=" xảy ra khi x = y = 1
14 tháng 1 2021
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:
\(y+2\ge\left(2-x\right)\left(2-z\right)\left(2-y\right)\).
Theo bất đẳng thức AM - GM: \(\left(2-x\right)\left(2-z\right)\le\dfrac{\left(4-x-z\right)^2}{4}=\dfrac{\left(2-y\right)^2}{4}\).
Do đó ta chỉ cần chứng minh:
\(y+2\ge\dfrac{\left(2-y\right)^3}{4}\).
Mặt khác, bđt trên tương đương: \(\dfrac{y\left[\left(y-3\right)^2+7\right]}{4}\ge0\) (luôn đúng).
Do đó bđt ban đầu cũng đúng.
Đẳng thức xảy ra khi y = 0; x = z = 1.
NV
0
Lời giải:
Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:
$(x^3+y^3)(x+y)\geq (x^2+y^2)^2$
$\Leftrightarrow 2(x+y)\geq (x^2+y^2)^2$
$\Rightarrow 4(x+y)^2\geq (x^2+y^2)^4(1)$
Áp dụng BĐT AM-GM: $2(x^2+y^2)\geq (x+y)^2(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow 8(x^2+y^2)\geq (x^2+y^2)^4$
$\Rightarrow 8\geq (x^2+y^2)^3$
$\Rightarrow 2\geq x^2+y^2$ (đpcm)