cho M là một điểm bất kì nằm trong hình vuông ABCD có cạnh bằng 1
a) Chứng minh rằng: MA2+MB2+MC2+MD2≥2
b)Xét điểm M nằm trên đường chéo AC, kẻ MN⊥AB tại N, Gọi O là trung điểm của AM. Chứng minh rằng CN2=2OB2
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
7 tháng 4 2018
a/ Ta có:
\(MA^2+MC^2+MB^2+MD^2\ge\frac{\left(MA+MC\right)^2}{2}+\frac{\left(MB+MD\right)^2}{2}\ge\frac{AC^2}{2}+\frac{BD^2}{2}=2\)
21 tháng 6 2022
Câu 3:
Xét ΔMDC có AB//CD
nên MA/MD=MB/MC(1)
Xét ΔMDK có AI//DK
nên AI/DK=MA/MD(2)
Xét ΔMKC có IB//KC
nên IB/KC=MB/MC(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AI/DK=IB/KC=MI/MK
Vì AI//KC nên AI/KC=NI/NK=NA/NC
Vì IB//DK nên IB/DK=NI/NK
=>AI/KC=IB/DK
mà AI/DK=IB/KC
nên \(\dfrac{AI}{KC}\cdot\dfrac{AI}{DK}=\dfrac{IB}{DK}\cdot\dfrac{IB}{DC}\)
=>AI=IB
=>I là trung điểm của AB
AI/DK=BI/KC
mà AI=BI
nên DK=KC
hay K là trung điểm của CD
3 tháng 3 2020
1) Dễ thấy \(\widehat{HCB}=\widehat{ACB}=90^o\)
tứ giác CBKH có \(\widehat{HKB}=\widehat{HCB}=90^o\)nên là tứ giác nội tiếp
\(\Rightarrow\widehat{HCK}=\widehat{HBK}\)( 1 )
Mà \(\widehat{ACM}=\widehat{ABM}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AM}\)( 2 )
Từ ( 1 ) và ( 2 ) suy ra \(\widehat{ACM}=\widehat{ACK}\)
2) Xét \(\Delta AMC\)và \(\Delta BEC\)có :
AM = BE ; AC = BC ; \(\widehat{MAC}=\widehat{CBE}=\frac{1}{2}sđ\widebat{MC}\)
\(\Rightarrow\Delta AMC=\Delta BEC\)( c.g.c )
\(\Rightarrow MC=EC\)
Ta có : \(\widehat{CMB}=\frac{1}{2}sđ\widebat{BC}=45^o\)
Suy ra \(\Delta ECM\)vuông cân tại C
3) Ta có : \(\frac{AP.MB}{AM}=R=OB\Rightarrow\frac{AP}{MA}=\frac{OB}{MB}\)
Xét \(\Delta APM\)và \(\Delta OBM\), ta có :
\(\frac{AP}{MA}=\frac{OB}{MB}\); \(\widehat{PAM}=\widehat{MBO}=\frac{1}{2}sđ\widebat{AM}\)
\(\Rightarrow\Delta APM\approx\Delta BOM\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\Delta APM\)cân tại P ( vì \(\Delta BOM\)cân tại O )
\(\Rightarrow PA=PM\)
Gọi giao điểm của BM và ( d ) là F ; giao điểm của BP với HK là I
Xét tam giác vuông AMF có PA = PM nên PA = PM = PF
Theo định lí Ta-let, ta có :
\(\frac{HI}{FP}=\frac{BI}{BP}=\frac{KI}{AP}\Rightarrow HI=KI\)
vì vậy PB đi qua trung điểm của HK
AH
Akai Haruma
Giáo viên
5 tháng 4 2021
1. Lớp 8 chưa học tứ giác nội tiếp nên có thể CM như sau:
Xét tam giác $KAB$ và $KCH$ có:
$\widehat{K}$ chung
$\widehat{KBA}=\widehat{KHC}=90^0$
$\Rightarrow \triangle KAB\sim \triangle KCH$ (g.g)
$\Rightarrow \frac{KA}{KC}=\frac{KB}{KH}\Rightarrow KA.KH=KB.KC$
Xét tam giác $KAC$ có $AB,CH$ là 2 đường cao giao nhau tại $M$ nên $M$ là trực tâm tam giác $KAC$
$\Rightarrow KM\perp AC$. Mà $AC\perp BD$ nên $KM\parallel BD$.
2.
$OE\parallel DC$ nên theo định lý Talet:
$\frac{OF}{FC}=\frac{OE}{DC}$
Mà $OE=OC$ (như bạn Phan Linh Nhi đã cm) nên $\frac{OF}{FC}=\frac{OC}{DC}=\frac{\sqrt{2}}{2}$ (do $ODC$ là tam giác vuông cân tại $O$)
21 tháng 6 2022
Câu 3:
Xét ΔMDC có AB//CD
nên MA/MD=MB/MC(1)
Xét ΔMDK có AI//DK
nên AI/DK=MA/MD(2)
Xét ΔMKC có IB//KC
nên IB/KC=MB/MC(3)
Từ (1), (2) và (3) suy ra AI/DK=IB/KC=MI/MK
Vì AI//KC nên AI/KC=NI/NK=NA/NC
Vì IB//DK nên IB/DK=NI/NK
=>AI/KC=IB/DK
mà AI/DK=IB/KC
nên \(\dfrac{AI}{KC}\cdot\dfrac{AI}{DK}=\dfrac{IB}{DK}\cdot\dfrac{IB}{DC}\)
=>AI=IB
=>I là trung điểm của AB
AI/DK=BI/KC
mà AI=BI
nên DK=KC
hay K là trung điểm của CD
CM
31 tháng 1 2019
a, Chứng minh được H C B ^ = H K B ^ = 90 0
b, A C K ^ = H B K ^ (CBKH nội tiếp)
Lại có: A C M ^ = H B K ^ = 1 2 s đ A M ⏜
=> A C M ^ = A C K ^
c, Chứng minh được:
DMCA = DECB (c.g.c) => MC = CE
Ta có: C M B ^ = C A B ^ = 1 2 s đ C B ⏜ = 45 0
=> DMCE vuông cân tại C
d, Gọi P B ∩ H K = I
Chứng minh được DHKB đồng dạng với DAMB (g.g)
=> H K K B = M A M B = A P R => H K = A P . B K R
Mặt khác: ∆BIK:∆BPA(g.g) => (ĐPCM)
a)
ABCD là hình vuông có cạnh bằng 1
M là điểm bất kỳ nằm trong hình vuông ABCD (H1)
Chứng minh tương tự:
Do đó, suy ra: MA2 + MB2 + MC2 + MD2
1 + 1 = 2 (đpcm)
Đẳng thức xảy ra
M là giao điểm của hai đường chéo AC và BD
b)Kẽ MH
BC tại H (H2) 
MH = NB
Từ (1) và (2) suy ra:
(3)
Hai tam giác ONB và NMC có:
Từ (1) và (4) suy ra:
NC2 = 2.OB2 (đpcm)