CMR:
\(\dfrac{1}{6}< \dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{6^2}.........+\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{4}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
KN
Kha Nguyễn
28 tháng 3 2018
https://i.imgur.com/0DG8QJy.png
Đúng(0)
Những câu hỏi liên quan
15 tháng 3 2018
Ta có :
\(\dfrac{1}{5^2}< \dfrac{1}{4.5}\)
\(\dfrac{1}{6^2}< \dfrac{1}{5.6}\)
....................
\(\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{99.100}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{6^2}+........+\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{4.5}+\dfrac{1}{5.6}+.....+\dfrac{1}{99.100}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+.....+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{100}< \dfrac{1}{4}\left(1\right)\)
Lại có :
\(\dfrac{1}{5^2}>\dfrac{1}{5.6}\)
\(\dfrac{1}{6^2}>\dfrac{1}{6.7}\)
............
\(\dfrac{1}{100^2}>\dfrac{1}{100.101}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{6^2}+......+\dfrac{1}{100^2}>\dfrac{1}{5.6}+\dfrac{1}{6.7}+.....+\dfrac{1}{100.101}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}+.....+\dfrac{1}{100}-\dfrac{1}{101}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{101}>\dfrac{1}{6}\left(2\right)\)
Từ \(\left(1\right)+\left(2\right)\Leftrightarrowđpcm\)
26 tháng 1 2018
Đặt: \(A=\dfrac{1}{5^2}+\dfrac{1}{6^2}+\dfrac{1}{7^2}+...+\dfrac{1}{100^2}\)
Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}A>\dfrac{1}{5.6}+\dfrac{1}{6.7}+\dfrac{1}{7.8}+...+\dfrac{1}{100.101}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{100}-\dfrac{1}{101}=\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{101}>\dfrac{1}{6}\\A< \dfrac{1}{4.5}+\dfrac{1}{5.6}+\dfrac{1}{6.7}+...+\dfrac{1}{99.100}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{7}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{100}< \dfrac{1}{4}\end{matrix}\right.\)
Vậy \(\dfrac{1}{6}< A< \dfrac{1}{4}\)
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
10 tháng 5 2023
Hôm nay olm sẽ hướng dẫn các em mẹo giải các bài toán dạng này như sau:
Ta thấy vế phải là \(\dfrac{1}{2}\) thì vế trái sẽ ≤ \(\dfrac{1}{2}\) - a ( a > 0)
Em biến đổi mẫu số các phân số lần lượt thành lũy thừa của các số tự nhiên liên tiếp. Sau đó rút gọn tổng các phân số đó thì sẽ chứng minh được em nhé.
A = \(\dfrac{1}{2^2}\)+\(\dfrac{1}{4^2}\)+\(\dfrac{1}{6^2}\)+...+\(\dfrac{1}{100^2}\)
A = \(\dfrac{1}{\left(1.2\right)^2}\)+\(\dfrac{1}{\left(2.2\right)^2}\)+\(\dfrac{1}{\left(2.3\right)^2}\)+...+\(\dfrac{1}{\left(2.50\right)^2}\)
A = \(\dfrac{1}{1^2.2^2}\)+\(\dfrac{1}{2^2.2^2}\)+\(\dfrac{1}{2^2.3^2}\)+...+\(\dfrac{1}{2^2.50^2}\)
A = \(\dfrac{1}{2^2}\)\(\times\)(\(\dfrac{1}{1^2}\)+\(\dfrac{1}{2^2}\)+\(\dfrac{1}{3^2}\)+...+\(\dfrac{1}{50^2}\))
A = \(\dfrac{1}{4}\) \(\times\)(1+\(\dfrac{1}{2.2}\)+\(\dfrac{1}{3.3}\)+...+\(\dfrac{1}{50.50}\))
Vì \(\dfrac{1}{1}\)> \(\dfrac{1}{2}\)>\(\dfrac{1}{3}\)>\(\dfrac{1}{4}\)>...>\(\dfrac{1}{50}\)
⇒ \(\dfrac{1}{2.2}+\dfrac{1}{3.3}+\dfrac{1}{4.4}+...+\dfrac{1}{50.50}\)<\(\dfrac{1}{1.2}\)+\(\dfrac{1}{2.3}\)+\(\dfrac{1}{3.4}\)+...\(\dfrac{1}{49.50}\)
A = \(\dfrac{1}{4}\).(1+\(\dfrac{1}{2.2}\)+\(\dfrac{1}{3.3}\)+\(\dfrac{1}{4.4}\)+..+\(\dfrac{1}{50.50}\)) < \(\dfrac{1}{4}\) .(1+\(\dfrac{1}{1.2}\)+\(\dfrac{1}{2.3}\)+\(\dfrac{1}{3.4}\)+..+\(\dfrac{1}{49.50}\))
A < \(\dfrac{1}{4}\).(1+\(\dfrac{1}{1}\)-\(\dfrac{1}{2}\)+\(\dfrac{1}{2}\)-\(\dfrac{1}{3}\)+\(\dfrac{1}{3}\)-\(\dfrac{1}{4}\)+...+\(\dfrac{1}{49}\)-\(\dfrac{1}{50}\))
A<\(\dfrac{1}{4}\).(2 - \(\dfrac{1}{50}\))
A < \(\dfrac{1}{2}\) - \(\dfrac{1}{200}\) < \(\dfrac{1}{2}\)
Vậy A = \(\dfrac{1}{2^2}\) + \(\dfrac{1}{4^2}\)+\(\dfrac{1}{6^2}\)+...+\(\dfrac{1}{100^2}\) < \(\dfrac{1}{2}\) ( đpcm)
30 tháng 4 2017
Ta có: \(K=\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}+...+\dfrac{1}{99^2}+\dfrac{1}{100^2}< \dfrac{1}{3.4}+\dfrac{1}{4.5}+...+\dfrac{1}{99.100}\)
\(=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{4}+\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+...+\dfrac{1}{99}-\dfrac{1}{100}=\dfrac{1}{3}-\dfrac{1}{100}< \dfrac{1}{3}\) (1)
\(K=\dfrac{1}{4^2}+\dfrac{1}{5^2}+...+\dfrac{1}{100^2}>\dfrac{1}{4.5}+\dfrac{1}{5.6}+...+\dfrac{1}{100.101}\)
\(=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{5}+\dfrac{1}{5}-\dfrac{1}{6}+...+\dfrac{1}{100}-\dfrac{1}{101}=\dfrac{1}{4}-\dfrac{1}{101}>\dfrac{1}{5}\) (2)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow\dfrac{1}{5}< K< \dfrac{1}{3}\left(đpcm\right)\)
NK
23 tháng 4 2017
ta có :
1/2 < 2/3
2/3 <3/4
.........
9999/10000 < 10000/10001
suy ra : A2 < 1/22/33/4*****9999/1000010000/10001
suy ra : A2 < 1/10001 < 1/10000= (1/100)2
suy ra A2 < (1/100)2 . Từ đó: A < 1/100
2 là mũ 2 nha bạn