Cho 3 số a, b , c > 0 thỏa mãn: \(\dfrac{a+b-3c}{c}=\dfrac{b+c-3a}{a}=\dfrac{c+a-3b}{b}\)
Chứng minh rằng a = b = c
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
13 tháng 1 2022
Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\dfrac{a+b-3c}{c}=\dfrac{b+c-3a}{a}=\dfrac{c+a-3b}{b}=\dfrac{a+b-3c+b+c-3a+c+a-3b}{c+a+b}=\dfrac{-\left(a+b+c\right)}{a+b+c}=-1\)
\(\dfrac{a+b-3c}{c}=-1\Rightarrow a+b-3c=-c\Rightarrow a+b-2c=0\left(1\right)\)
\(\dfrac{b+c-3a}{a}=-1\Rightarrow b+c-3a=-a\Rightarrow b+c-2a=0\left(2\right)\)
\(\dfrac{c+a-3b}{b}=-1\Rightarrow a+c-3b=-b\Rightarrow a+c-2b=0\left(3\right)\)
Từ (1), (2) ta có:\(a+b-2c=b+c-2a\Rightarrow3a=3c\Rightarrow a=c\left(4\right)\)
Từ (1), (3) ta có:\(a+b-2c=a+c-2b\Rightarrow3b=3c\Rightarrow b=c\left(5\right)\)
Từ (4), (5)\(\Rightarrow a=b=c\)
AH
Akai Haruma
Giáo viên
6 tháng 1
Lời giải:
$3\text{VT}=\frac{3a}{3a+1}+\frac{3b}{3b+1}+\frac{3c}{3c+1}$
$=1-\frac{1}{3a+1}+1-\frac{1}{3b+1}+1-\frac{1}{3c+1}$
$=3-\left[\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}\right]$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
$\frac{1}{3a+1}+\frac{1}{3b+1}+\frac{1}{3c+1}\geq \frac{9}{3a+1+3b+1+3c+1}=\frac{9}{3(a+b+c)+3}=\frac{9}{3.6+3}=\frac{3}{7}$
$\Rightarrow 3\text{VT}\leq 3-\frac{3}{7}=\frac{18}{7}$
$\Rightarrow \text{VT}\leq \frac{6}{7}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=2$
AH
Akai Haruma
Giáo viên
13 tháng 4 2021
Lời giải:
Bạn nhớ tới bổ đề sau: Với $a,b>0$ thì $a^3+b^3\geq ab(a+b)$.
Áp dụng vào bài:
$5a^3-b^3\leq 5a^3-[ab(a+b)-a^3]=6a^3-ab(a+b)$
$\Rightarrow \frac{5a^3-b^3}{ab+3a^2}\leq \frac{6a^3-ab(a+b)}{ab+3a^2}=\frac{6a^2-ab-b^2}{3a+b}=\frac{(3a+b)(2a-b)}{3a+b}=2a-b$
Tương tự:
$\frac{5b^3-c^3}{bc+3b^2}\leq 2b-c; \frac{5c^3-a^3}{ca+3c^2}\leq 2c-a$
Cộng theo vế:
$\Rightarrow \text{VT}\leq a+b+c=3$
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=1$
22 tháng 3 2021
Sử dụng Cô si cho 2 số dương ta được
\dfrac{a^3b}{c}+\dfrac{a^3c}{b}=a^3\left(\dfrac{b}{c}+\dfrac{c}{b}\right)\ge2a^3ca3b+ba3c=a3(cb+bc)≥2a3
Làm tương tự với hai cặp số hạng còn lại và cộng các bất đẳng thức nhận được ta có
\dfrac{a^3b}{c}+\dfrac{a^3c}{b}+\dfrac{b^3c}{a}+\dfrac{b^3a}{c}+\dfrac{c^3b}{a}+\dfrac{c^3a}{b}\ge2\left(a^3+b^3+c^3\right)ca3b+ba3c+ab3c+cb3a+ac3b+bc3a≥2(a3+b3+c3) (1)
Lại theo bất đẳng thức Cô si ta được
a^3+b^3+c^3\ge3\sqrt[3]{a^3b^3c^3}=3abca3+b3+c3≥33a3b3c3=3abc (2)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm.
5 tháng 7 2021
Theo bất đẳng thức cô si ta có
\(\dfrac{a^3b}{c}\) + \(\dfrac{a^3c}{b}\) = a^3(b/c+c/b) ≥ 2a^3
Tương tự với 1 cặp số hạng còn lại và cộng các bất đẳng thức nhận được ta có
a^3b/c+ a^3c/b + b^3c/a+b^3a/c + c^3b/a+ c^3a/b ≥ 2(a^3+b^3+c^3) (1)
Theo bất đẳng thức cô si ta được
a^3 + b^3 +c^3 ≥ 3\(\sqrt{a^3b^3c^3}=3abc (2) \)
Từ (1) và (2) suy ra đpcm
23 tháng 3 2018
Ta có:\(\dfrac{1}{1+ab}+\dfrac{1}{1+bc}+\dfrac{1}{1+ac}\ge\dfrac{9}{1+1+1+ab+bc+ca}\)(AM-GM)
Lại có:\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)
\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2\ge ab+bc+ca\)
\(\Rightarrow\dfrac{9}{3+ab+bc+ca}\ge\dfrac{9}{3+a^2+b^2+c^2}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}\)
\(\Rightarrowđpcm\)
24 tháng 3 2018
Cháu làm cho bác câu 2 thôi,câu 3 THANGDZ làm rồi sợ mất bản quyền lắm:v
Lời giải:
Áp dụng liên tiếp bất đẳng thức AM-GM và Cauchy-Schwarz ta có:
\(\dfrac{a}{a+2b+3c}+\dfrac{b}{b+2c+3a}+\dfrac{c}{c+2a+3b}\)
\(=\dfrac{a^2}{a^2+2ab+3ac}+\dfrac{b^2}{b^2+2bc+3ab}+\dfrac{c^2}{c^2+2ac+3bc}\)
\(\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{a^2+b^2+c^2+5ab+5bc+5ac}\)
\(=\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+3\left(ab+bc+ac\right)}\ge\dfrac{\left(a+b+c\right)^2}{\left(a+b+c\right)^2+\left(a+b+c\right)^2}=\dfrac{1}{2}\)
20 tháng 2 2022
\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{b+c}\ge\dfrac{16}{2a+3b+3c}\)
\(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{16}{2b+3a+3c}\)
\(\dfrac{1}{a+c}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+b}\ge\dfrac{16}{2c+3a+3b}\)
cộng tất cả lại ta được \(4.2017\ge16.\left(\dfrac{1}{2a+3b+3c}+\dfrac{1}{2b+3a+3c}+\dfrac{1}{2c+3a+3b}\right)< =>P\le\dfrac{2017}{4}\)
dấu bằng xảy ra khi \(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{1}{a+b}=\dfrac{1}{b+c}=\dfrac{1}{a+c}\\\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}=2017\end{matrix}\right.< =>\left\{{}\begin{matrix}a=b=c\\\dfrac{3}{2a}=\dfrac{3}{2b}=\dfrac{3}{2c}=2017\end{matrix}\right.< =>a=b=c=\dfrac{3}{4034}}\)
Ta có; \(\frac{a+b-3c}{c}+4=\frac{b+c-3a}{a}+4=\frac{c+a-3b}{b}+4 \)
<=>\(\frac{a+b+c}{c}=\frac{a+b+c}{a}=\frac{a+b+c}{b} \)
Mà a,b,c>0=>a+b+c>0
=>\(\frac{1}{a}=\frac{1}{c}=\frac{1}{b} \)
=>a=b=c(đpcm)