K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

5 tháng 12 2017

Bài 1:

a,\(5^{2005}+5^{2003}=5^{2003}(25+1)=26.5^{2003}\vdots13(đpcm)\)

b,\(a^2+b^2+1\ge ab+a+b\)

<=>\(2a^2+2b^2+2\ge2ab+2a+2b\)

<=>\((a^2-2ab+b^2)+(a^2-2a+1)+(b^2-2b+1)\ge0\)

<=>\((a-b)^2+(a-1)^2+(b-1)^2\ge0(tm)\)

=> đpcm

5 tháng 12 2017

a) 52005 + 52003 = 52003 ( 52 + 1 ) = 52003 . 26 = 52003 . 2 .13

=> 52005 + 52003 chia hết cho 13

b) a2 + b2 +1 \(\ge\) ab + a + b

\(\Leftrightarrow\) 2a2 + 2b2 + 2 ≥ 2ab + 2a + 2b

\(\Leftrightarrow\)(a2 − 2ab + b2) + (a2 − 2a + 1) + (b2 − 2b + 1) ≥ 0

\(\Leftrightarrow\) (a − b)2 + (a − 1)2 + (b − 1)2 ≥ 0

9 tháng 6 2021

1) 52005 +52003 = 52003(52+1)=52003(25+1) = 52003.26 

Mà 26 chia hết cho 13 => ...

2)a2 + b2 + 1 ≥ ab + a + b <=> 2a2+2b2+2 ≥ 2ab + 2a +2b  (*nhân cả hai vế với  2*)

<=> 2a2-2ab+2b2 +2 -2a -2b ≥0  (*chuyển vế phải sang vế trái và đổi dấu*)

<=> (a2-2ab+b2)+(a2-2a+1)+(b2-2b+1)≥0  

<=> (a-b)2+(a-1)2+(b-1)2≥0 

=> Bất đẳng thức đúng 

=> đpcm

3) Ta có a+b+c=0

<=> a+b = -c

<=> (a+b)3=(-c)3

<=> a3+3a2b+3ab2+b3= -c 

 

<=> a3+b3+c3= -3a2b -3ab  (*chuyển vế*)

<=> a3+b3+c3= -3ab(a+b) = -3ab(-c)=3abc (*do a+b = -c*)

1 tháng 6 2021

\(5^{2005}+5^{2003}=5^{2003}.\left(5^2+1\right)=5^{2003}.26\)

Mà \(26⋮13\Rightarrow5^{2003}.26⋮13\)

Hay \(5^{2005}+5^{2003}⋮13\left(ĐPCM\right)\)

Chúc bn học tốt

AH
Akai Haruma
Giáo viên
31 tháng 8 2023

Lời giải:

Sử dụng bổ đề: Một số chính phương $x^2$ khi chia 3 dư 0 hoặc 1.

Chứng minh:

Nêú $x$ chia hết cho $3$ thì $x^2\vdots 3$ (dư $0$)

Nếu $x$ không chia hết cho $3$. Khi đó $x=3k\pm 1$ 

$\Rightarrow x^2=(3k\pm 1)^2=9k^2\pm 6k+1$ chia $3$ dư $1$

Vậy ta có đpcm

-----------------------------

Áp dụng vào bài:

TH1: Nếu $a,b$ chia hết cho $3$ thì hiển nhiên $ab(a^2+2)(b^2+2)\vdots 9$

TH1: Nếu $a\vdots 3, b\not\vdots 3$

$\Rightarrow b^2$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow b^2+3\vdots 3$

$\Rightarrow a(b^2+3)\vdots 9$

$\Rightarrow ab(a^2+3)(b^2+3)\vdots 9$

TH3: Nếu $a\not\vdots 3; b\vdots 3$

$\Rightarrow a^2$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow a^2+2\vdots 3$

$\Rightarrow b(a^2+2)\vdots 9$

$\Rightarrow ab(a^2+2)(b^2+2)\vdots 9$

TH4: Nếu $a\not\vdots 3; b\not\vdots 3$

$\Rightarrow a^2, b^2$ chia $3$ dư $1$

$\Rightarrow a^2+2\vdots 3; b^2+2\vdots 3$

$\Rightarrow ab(a^2+2)(b^2+2)\vdots 9$

Từ các TH trên ta có đpcm.

 

12 tháng 7 2020

thx ban

21 tháng 4 2021

Để \(\frac{2a+2b}{ab+1}\) là bình phương của 1 số nguyên thì 2a + 2b chia hết cho ab + 1; mà ab + 1 chia hết cho 2a + 2b => ab + 1 = 2b + 2a
=> \(\frac{2a+2b}{ab+1}\)=1 = 12

3 tháng 7 2019

a) VT = (a - 1)(a - 2) + (a - 3)(a + 4) - (2a2 + 5a - 34)

         = a2 - 2a - a + 2 + a2 + 4a - 3a - 12  - 2a2 - 5a + 34

       = (a2 + a2 - 2a2) - (2a + a - 4a + 3a + 5a) + (2 - 12 + 34)

        =  -7a + 24

=> VT = VP

=> đpcm

b) VT = (a - b)(a2 + ab + b2) - (a + b)(a2 - ab + b2)

         = (a3 - b3) - (a3 + b3)

         = a3 - b3 - a3 - b3

           = -2b

=> VT = VP

=> Đpcm

Câu b bn xem đề lại (a + b)(a2 - ab + b2) ko phải là (a + b)(a2 - ab - b2)

NV
24 tháng 4 2021

- Nếu \(abc\ge0\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\ge0\) dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=0\)

- Nếu \(abc< 0\Rightarrow\)  trong 3 số a; b; c có ít nhất 1 số âm

Không mất tính tổng quát, giả sử \(c< 0\Rightarrow ab>0\)

Mà \(\left\{{}\begin{matrix}-2\le c< 0\\ab>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow abc\ge-2ab\)

\(\Rightarrow a^2+b^2+c^2+abc\ge a^2+b^2-2ab+c^2=\left(a-b\right)^2+c^2>0\) (không thỏa mãn)

Vậy \(a=b=c=0\)

AH
Akai Haruma
Giáo viên
30 tháng 4 2023

Lời giải:

Giả sử $(a^2+b^2, ab)>1$. Khi đó, gọi $p$ là ước nguyên tố lớn nhất của $(a^2+b^2,ab)$

$\Rightarrow a^2+b^2\vdots p; ab\vdots p$

Vì $ab\vdots p\Rightarrow a\vdots p$ hoặc $b\vdots p$

Nếu $a\vdots p$. Kết hợp $a^2+b^2\vdots p\Rightarrow b^2\vdots p$

$\Rightarrow b\vdots p$

$\Rightarrow p=ƯC(a,b)$ . Mà $(a,b)=1$ nên vô lý 

Tương tự nếu $b\vdots p$
Vậy điều giả sử là sai. Tức là $(a^2+b^2, ab)=1$

NV
14 tháng 1

Ta có:

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}\ge\dfrac{4}{a+2b+c}\ge\dfrac{4}{\dfrac{a^2+1}{2}+b^2+1+\dfrac{c^2+1}{2}}=\dfrac{8}{b^2+7}\)

Tương tự

\(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{8}{a^2+7}\)

\(\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{a+c}\ge\dfrac{8}{c^2+7}\)

Cộng vế:

\(2\left(\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\right)\ge\dfrac{8}{a^2+7}+\dfrac{8}{b^2+7}+\dfrac{8}{c^2+7}\)

\(\Rightarrow\dfrac{1}{a+b}+\dfrac{1}{b+c}+\dfrac{1}{c+a}\ge\dfrac{4}{a^2+7}+\dfrac{4}{b^2+7}+\dfrac{4}{c^2+7}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)