Chứng minh rằng (\(3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\))\(⋮22\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
26 tháng 12 2017
1. \(A=2^{2016}-1\)
\(2\equiv-1\left(mod3\right)\\ \Rightarrow2^{2016}\equiv1\left(mod3\right)\\ \Rightarrow2^{2016}-1\equiv0\left(mod3\right)\\ \Rightarrow A⋮3\)
\(2^{2016}=\left(2^4\right)^{504}=16^{504}\)
16 chia 5 dư 1 nên 16^504 chia 5 dư 1
=> 16^504-1 chia hết cho 5
hay A chia hết cho 5
\(2^{2016}-1=\left(2^3\right)^{672}-1=8^{672}-1⋮7\)
lý luận TT trg hợp A chia hết cho 5
(3;5;7)=1 = > A chia hết cho 105
2;3;4 TT ạ !!
NT
1
24 tháng 4 2017
Chứng minh chia hết cho 2:
Ta có: \(3^{2^{4n+1}}\) là số lẻ và \(5\)là số lẻ nên
\(\Rightarrow\left(3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\right)⋮2\left(1\right)\)
Chứng minh chia hết cho 11: (dùng \(\exists\)làm ký hiệu đồng dư)
Theo Fecma vì 11 là số nguyên tố nên
\(\Rightarrow3^{11-1}=3^{10}\exists1\left(mod11\right)\left(2\right)\)
Ta lại có: \(2^{4n+1}=2.16^n\exists2\left(mod10\right)\)
\(\Rightarrow2^{4n+1}=10k+2\)
Kết hợp với (2) ta được
\(\Rightarrow3^{4n+1}=3^{10k+2}=9.3^{10k}\exists9\left(mod11\right)\left(3\right)\)
Tương tự ta có:
\(\Rightarrow2^{11-1}=2^{10}\exists1\left(mod11\right)\left(4\right)\)
Ta lại có:
\(3^{4n+1}=3.81^n\exists3\left(mod10\right)\)
\(\Rightarrow3^{4n+1}=10l+3\)
Kết hợp với (4) ta được
\(2^{3^{4n+1}}=2^{10l+3}=8.2^{10l}\exists8\left(mol11\right)\left(5\right)\)
Từ (3) và (5) \(\Rightarrow\left(3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\right)\exists\left(9+8+5\right)\exists22\exists0\left(mod11\right)\)
\(\Rightarrow\left(3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\right)⋮11\left(6\right)\)
Từ (1) và (6) \(\Rightarrow\left(3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\right)⋮\left(2.11\right)=22\)
UI
1
31 tháng 8 2020
\(2^{3^{4n+1}}\) chia hết cho 2
\(3^{2^{4n+1}}\) ko chia hết cho 2 => nó là số lẻ
5 là số ko chia hết cho 2 => nó là số lẻ
mà số lẻ + lẻ = số chia hết cho 2
=> \(2^{3^{4n+1}}\)+ \(3^{2^{4n+1}}\) + 5 chia hết cho 2
=> HỢP SỐ
TM
4
25 tháng 7 2017
Ta có:
\(3^{4n+1}=3.81^n\text{≡}3\left(mod10\right)\)
\(\Rightarrow3^{4n+1}=10k+3\)
\(\Rightarrow2^{3^{4n+1}}=2^{10k+3}=8.1024^k\text{≡}8\left(mod11\right)\left(1\right)\)
Ta lại có:
\(2^{4n+1}=2.16^n\text{≡}2\left(mod5\right)\)
\(\Rightarrow2^{4n+1}=5a+2\)
\(\Rightarrow3^{2^{4n+1}}=3^{5a+2}=9.243^a\text{≡}9\left(mod11\right)\left(2\right)\)
Từ (1) và (2) \(\Rightarrow3^{2^{4n+1}}+2^{3^{4n+1}}+5\text{≡}9+8+5\text{≡}22\text{≡}0\left(mod11\right)\)
PT
3
26 tháng 10 2015
a) Vì 24k+1 = 24k.2 = ....6k .2
Mà ...6k có tận cùng là 6 nên 24k+1 có tận cùng là 2
=> ....2 + 3 có tận cùng là 5 nên chia hết cho 5
PM
1
NP
1
HK
1
TL
13 tháng 7 2015
đặt A=2^4n+1
=16^n.2
16^n đồng dư với 6 (mod 10)
=>16^n.2 đồng dư với 2.6=12=2(mod 10)
A chia 10 dư 2=10k+2(k thuộc N)
đặt B=3^4n+1
=81^n.3 đồng dư với 1.3=3 ( mod 10)
=>B chia 10 dư 3=10p+3(p thuộc N)
ta có 3^2^4n+1 + 3^3^4n+1 +5
=3^10k+2 + 3^10p+3 +5
3^10 đồng dư với 1 (mod 11)
=>3^10k+2 đồng dư với 1.3^2=9(mod 11)
=>3^10p+3 đồng dư với 1.3^3=27(mod 11)
5 đồng dư với 5(mod 11)
=> 3^2^4n+1 + 3^3^4n+1 +5 đồng dư với 9+27+5=41(mod 11)
=> đề sai! phải là 2^3^4n+1 mới đúng
Lời giải:
Gọi biểu thức trên là $A$
Dễ thấy:
$3^{2^{4n+1}}$ lẻ, $2^{3^{4n+1}}$ chẵn, $5$ lẻ với mọi $n$ tự nhiên
Do đó $A$ chẵn hay $A\vdots 2(*)$
Mặt khác:
$2^4\equiv 1\pmod 5\Rightarrow 2^{4n+1}\equiv 2\pmod 5$
$\Rightarrow 2^{4n+1}=5k+2$ với $k$ tự nhiên
$\Rightarrow 3^{2^{4n+1}}=3^{5k+2}=9.(3^5)^k\equiv 9.1^k\equiv 9\pmod {11}$
Và:
$3^4\equiv 1\pmod {10}\Rightarrow 3^{4n+1}\equiv 3\pmod {10}$
do đó $3^{4n+1}=10t+3$ với $t$ tự nhiên
$\Rightarrow 2^{3^{4n+1}}=2^{10t+3}=8.(2^{10})^t\equiv 8.1^t\equiv 8\pmod{11}$
Do đó:
$A\equiv 9+8+5=22\equiv 0\pmod {11}$
Vậy $A\vdots 11(**)$
Từ $(*); (**)\Rightarrow A\vdots 22$ (do $(2,11)=1$)