Question

[Trần Thiên Kim]

Cho hình bình hành ABCD. Qua một điểm S trong hình bình hành ABCD kẻ đường thẳng song song với AB cắt AD, BC tại M, P và cũng qua S kẻ đường thẳng song song với AD cắt AB, CD tại N và Q. Gọi I là giao điểm của AS và DP. Chứng minh ba điểm B, I ,Q thẳng hàng.

Ai onl đi ngang qua làm ơn ra tay nghĩa hiệp cứu giúp 1 lần Y_Y T bị ngu hình.....

Answer 1

[Akai Haruma]

Sử dụng định lý Menelaus. Nếu bạn chưa được học thì chứng minh nó như một bổ đề để sử dụng vào bài toán thôi.

Cho tam giác ABC. D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB . Khi đó, D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi \(\frac{AF}{BF}.\frac{BD}{CD}.\frac{CE}{AE}=1\)

CM phần thuận:

Kẻ các đường cao \(AA',BB',CC'\) xuống đường thẳng chứa \(D,E,F\)

Khi đó:

\(\frac{AF}{BF}=\frac{AA'}{BB'};\frac{BD}{CD}=\frac{BB'}{CC'}; \frac{CE}{AE}=\frac{CC'}{AA'}\)

\(\Rightarrow \frac{AF}{BF}.\frac{BD}{CD}.\frac{CE}{AE}=1\) (đpcm)

CM phần đảo:

Giả sử \(ED\cap AB\equiv F'\), do \(D,E,F'\) thẳng hàng nên theo kết quả cm ở phần thuận, ta có \(\frac{AF'}{BF'}.\frac{BD}{CD}.\frac{CE}{AE}=1\)

Kết hợp với \(\frac{AF}{BF}.\frac{BD}{CD}.\frac{CE}{AE}=1\Rightarrow \frac{AF}{BF}=\frac{AF'}{BF'}\)

Do đó, dễ dàng thấy \(F\equiv F'\Leftrightarrow D,E, F\) thẳng hàng.

Sử dụng kết quả trên vào bài toán:

Xét tam giác $MAS$ có: \(D\in MA, I\in SA, P\in MS\) và \(D,I,P\) thẳng hàng nên: \(\frac{DA}{DM}.\frac{IS}{IA}.\frac{PM}{PS}=1\)

\(\Leftrightarrow \frac{DA}{SQ}.\frac{IS}{IA}.\frac{AB}{PS}=1(*)\)

Xét tam giác $NAS$ có:

\(\frac{AB}{NB}.\frac{SI}{AI}.\frac{QN}{QS}=\frac{AB}{SP}.\frac{IS}{IA}.\frac{\\DA}{SQ1}=\) (theo \((*)\))

Do đó sử dụng kết quả bổ đề trên ta thu được \(B,I,Q\) thẳng hàng