K
Khách

Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.

AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 8 2017

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\(A^2=(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1})^2=(\sqrt{x}\sqrt{xy-x}+\sqrt{y}\sqrt{xy-y})^2\)

\(\leq (x+y)(xy-x+xy-y)=(x+y)(2xy-x-y)\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\((x+y)(2xy-x-y)\leq \left (\frac{x+y+2xy-x-y}{2}\right)^2=(xy)^2\)

Do đó, \(A^2\leq (xy)^2\Leftrightarrow A\leq xy\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(x=y=2\)

16 tháng 8 2017

Câu hỏi của Liên Mỹ - Toán lớp 9 - Học toán với OnlineMath

6 tháng 10 2019

BĐT \(\Leftrightarrow\frac{\sqrt{x-1}}{x}+\frac{\sqrt{y-1}}{y}\le1\)

Ta có: \(VT\le\frac{1+x-1}{2x}+\frac{1+y-1}{2y}=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1\)(đpcm)

Đẳng thức xảy ra khi x = y = 1

19 tháng 3 2016

mk mới học lớp 7 thôi mà

20 tháng 12 2015

Áp dụng bất đẳng thức Cô si ta có

\(\sqrt{y-1}=\sqrt{\left(y-1\right).1}\le\frac{y-1+1}{2}=\frac{y}{2}\)

=>\(x\sqrt{y-1}\le\frac{xy}{2}\)

Áp dụng BĐT cô si ta có

\(\sqrt{x-1}=\sqrt{\left(x-1\right).1}\le\frac{x-1+1}{2}=\frac{x}{2}\)

=>\(y\sqrt{x-1}+x\sqrt{y-1}\le\frac{xy}{2}+\frac{xy}{2}=xy\)

Dấu ''='' xảy ra <=>x=y=1

AH
Akai Haruma
Giáo viên
16 tháng 7 2020

Lời giải:

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky ta có:

$(x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1})^2=(\sqrt{x}.\sqrt{xy-x}+\sqrt{y}.\sqrt{yx-y})^2$

$\leq (x+y)(xy-x+xy-y)\leq \left(\frac{x+y+xy-x+xy-y}{2}\right)^2=(xy)^2$

$\Rightarrow x\sqrt{y-1}+y\sqrt{x-1}\leq xy$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=2$

NV
16 tháng 7 2020

\(x.1.\sqrt{y-1}+y.1.\sqrt{x-1}\le\frac{x}{2}\left(1+y-1\right)+\frac{y}{2}\left(1+x-1\right)=xy\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=2\)

10 tháng 10 2016

Áp dụng bđt Cauchy : \(\sqrt{\left(y-1\right).1}\le\frac{y-1+1}{2}=\frac{y}{2}\Rightarrow x\sqrt{y-1}\le\frac{xy}{2}\)

\(\sqrt{\left(x-1\right).1}\le\frac{x-1+1}{2}=\frac{x}{2}\Rightarrow y\sqrt{x-1}\le\frac{xy}{2}\)

Cộng hai BĐT trên theo vế ta có đpcm

10 tháng 10 2016

cảm ơn nhiều nha

NV
22 tháng 12 2022

Đặt vế trái của BĐT cần chứng minh là P

Ta có:

\(P=\dfrac{\sqrt{xy+\left(x+y+z\right)z}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{\left(x+z\right)\left(y+z\right)}+\sqrt{2\left(x^2+y^2\right)}}{1+\sqrt{xy}}\)

\(P\ge\dfrac{\sqrt{\left(\sqrt{xy}+z\right)^2}+\sqrt{\left(x+y\right)^2}}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{xy}+x+y+z}{1+\sqrt{xy}}=\dfrac{\sqrt{xy}+1}{1+\sqrt{xy}}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y\)