Cho a, b, c \(\in\) R và a, b, c \(\ne\) 0 thỏa mãn b2 = ac. Chứng minh rằng :
\(\dfrac{a}{c}=\dfrac{\left(a+2011b\right)^2}{\left(b+2011c\right)^2}\) (Biết rằng các tỉ số đều có nghĩa)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
1 tháng 2 2018
b^2 = a.c
=> a/b = b/c
Đặt a/b = b/c = k
=> a=bk ; b=ck
=> a = c.k.k = c.k^2 => a/c = k^2
Lại có : (a+2011b)^2/(b+2011c)^2
= (bk+2011b)^2/(ck+2011c)^2
= [b.(k+2011)]^2/[c.(k+2011)]^2
= b^2.(k+2011)^2/c^2.(k+2011)^2
= b^2/c^2
= (b/c)^2
= k^2
=> a/c = (a+2011)^2/(b+2011c)^2
Tk mk nha
MH
24 tháng 2 2022
Thôi câu đó mình làm được rồi, các bạn giúp mình câu này nha
Cho \(a>b\ge0\). CMR: \(\dfrac{a^4+b^4}{a^4-b^4}-\dfrac{ab}{a^2-b^2}+\dfrac{a+b}{2\left(a-b\right)}\ge\dfrac{3}{2}\)
24 tháng 2 2022
\(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}=1\\ \to ab+bc+ca=abc=1\)
Ta có \(A=\left(a^2+ab+bc+ca\right)\left(b^2+ab+bc+ca\right)\left(c^2+ab+bc+ca\right)\)
\(\to A=\left(a+b\right)\left(a+c\right)\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(a+c\right)\left(b+c\right)\)
\(\to A=\left[\left(a+b\right)\left(b+c\right)\left(c+a\right)\right]^2\)
Vì $a,b,c\in \mathbb{Q}\to A\in \mathbb{Q}$
HQ
15 tháng 2 2021
thử bài bất :D
Ta có: \(\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{a}{2}+\dfrac{b+c}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{a^3\left(b+c\right)}.\dfrac{a^3}{2^3}.\dfrac{\left(b+c\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) ( AM-GM cho 5 số ) (*)
Hoàn toàn tương tự:
\(\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{b}{2}+\dfrac{c+a}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{b^3\left(c+a\right)}.\dfrac{b^3}{2^3}.\dfrac{\left(c+a\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (**)
\(\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{c}{2}+\dfrac{a+b}{4}\ge5\sqrt[5]{\dfrac{1}{c^3\left(a+b\right)}.\dfrac{c^3}{2^3}.\dfrac{\left(a+b\right)}{4}}=\dfrac{5}{2}\) (AM-GM cho 5 số) (***)
Cộng (*),(**),(***) vế theo vế ta được:
\(P+\dfrac{3}{2}\left(a+b+c\right)+\dfrac{2\left(a+b+c\right)}{4}\ge\dfrac{15}{2}\) \(\Leftrightarrow P+2\left(a+b+c\right)\ge\dfrac{15}{2}\)
Mà: \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}=3\) ( AM-GM 3 số )
Từ đây: \(\Rightarrow P\ge\dfrac{15}{2}-2\left(a+b+c\right)=\dfrac{3}{2}\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=c=1
HQ
15 tháng 2 2021
1. \(a^3+b^3+c^3+d^3=2\left(c^3-d^3\right)+c^3+d^3=3c^3-d^3\) :D
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
18 tháng 2 2022
Đặt \(a\left(1-b\right)=x;b\left(1-c\right)=y;c\left(1-a\right)=x\)
\(\Rightarrow1-\left(a+b+c\right)+ab+bc+ca=1-a\left(1-b\right)-b\left(1-c\right)-c\left(1-a\right)=1-x-y-z\)
BĐT cần c/m trở thành:
\(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\ge\dfrac{3}{1-x-y-z}\)
\(\Leftrightarrow\left(1-x-y-z\right)\left(\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z}\right)-3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1-x-y-z}{x}+\dfrac{1-x-y-z}{y}+\dfrac{1-x-y-z}{z}-3\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1-y-z}{x}+\dfrac{1-z-x}{y}+\dfrac{1-x-y}{z}-6\ge0\) (1)
Lại có: \(1-y-z=1-b\left(1-c\right)-c\left(1-a\right)=1-b-c+bc+ca=\left(1-b\right)\left(1-c\right)+ca\)
Nên (1) tương đương:
\(\dfrac{\left(1-b\right)\left(1-c\right)+ca}{a\left(1-b\right)}+\dfrac{\left(1-a\right)\left(1-c\right)+ab}{b\left(1-c\right)}+\dfrac{\left(1-a\right)\left(1-b\right)+bc}{c\left(1-a\right)}-6\ge0\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{1-c}{a}+\dfrac{c}{1-b}+\dfrac{1-a}{b}+\dfrac{a}{1-c}+\dfrac{1-b}{c}+\dfrac{b}{1-a}\ge6\)
BĐT trên hiển nhiên đúng theo AM-GM do:
\(\dfrac{1-c}{a}+\dfrac{c}{1-b}+\dfrac{1-a}{b}+\dfrac{a}{1-c}+\dfrac{1-b}{c}+\dfrac{b}{1-a}\ge6\sqrt[6]{\dfrac{abc\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}{abc\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)}}=6\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=\dfrac{1}{2}\)
19 tháng 2 2022
Cám ơn bài giải của thầy Lâm ạ!
Và từ bài bất đăng thức này, đã được chế thành bài toán hình học trong 1 kì thi học sinh giỏi toán cấp tỉnh thầy ạ!
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
7 tháng 5 2019
\(b^2=ac\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{a}{b}=\frac{2010a}{2010b}=\frac{2011b}{2011c}=\frac{2010a+2011b}{2010b+2011c}\)
\(\Rightarrow\frac{b}{c}.\frac{a}{b}=\left(\frac{2010a+2011b}{2010b+2011c}\right).\left(\frac{2010a+2011b}{2010b+2011c}\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a}{c}=\frac{\left(2010a+2011b\right)^2}{\left(2010b+2011c\right)^2}\)
T
30 tháng 12 2016
Ta có: b2=ac\(\Rightarrow\frac{b}{c}=\frac{a}{b}\)
\(\Rightarrow\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{2016.b}{2016.c}\)(1)
áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có:
\(\frac{a}{b}=\frac{2016.b}{2016.c}=\frac{a+2016.b}{b+2016.c}\)(2)
Từ (1) và (2) ta có: \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}=\frac{a+2016.b}{b+2016.c}\)
\(\Rightarrow\frac{\left(a+2016.b\right)^2}{\left(b+2016.c\right)^2}=\frac{a^2}{b^2}=\frac{a}{b}.\frac{a}{b}=\frac{a}{b}.\frac{b}{c}\)(vì \(\frac{a}{b}=\frac{b}{c}\))\(=\frac{a}{c}\)(điều phải chứng minh)
1 tháng 6 2023
Ta có \(\sqrt{2022a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}}\)
\(=\sqrt{2a\left(a+b+c\right)+\dfrac{b^2-2bc+c^2}{2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{4a^2+b^2+c^2+4ab+4ac-2bc}{2}}\)
\(=\sqrt{\dfrac{\left(2a+b+c\right)^2-4bc}{2}}\)
\(\le\sqrt{\dfrac{\left(2a+b+c\right)^2}{2}}\)
\(=\dfrac{2a+b+c}{\sqrt{2}}\).
Vậy \(\sqrt{2022a+\dfrac{\left(b-c\right)^2}{2}}\le\dfrac{2a+b+c}{\sqrt{2}}\). Lập 2 BĐT tương tự rồi cộng vế, ta được \(VT\le\dfrac{2a+b+c+2b+c+a+2c+a+b}{\sqrt{2}}\)
\(=\dfrac{4\left(a+b+c\right)}{\sqrt{2}}\) \(=\dfrac{4.1011}{\sqrt{2}}\) \(=2022\sqrt{2}\)
ĐTXR \(\Leftrightarrow\) \(\left\{{}\begin{matrix}ab=0\\bc=0\\ca=0\\a+b+c=1011\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(a;b;c\right)=\left(1011;0;0\right)\) hoặc các hoán vị. Vậy ta có đpcm.
Giải:
Ta có: \(b^2=ac\Rightarrow\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}\)
Đặt \(\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=k\)
+) \(k^2=\dfrac{a}{b}.\dfrac{b}{c}=\dfrac{a}{c}\) (1)
+) \(k=\dfrac{a}{b}=\dfrac{b}{c}=\dfrac{2011b}{2011c}=\dfrac{a+2011b}{b+2011c}\) ( t/c dãy tỉ số bằng nhau )
\(\Rightarrow k^2=\left(\dfrac{a+2011b}{b+2011c}\right)^2=\dfrac{\left(a+2011b\right)^2}{\left(b+2011c\right)^2}\) (2)
Từ (1), (2) \(\Rightarrow\dfrac{a}{c}=\dfrac{\left(a+2011b\right)^2}{\left(b+2011c\right)^2}\left(đpcm\right)\)
Giải:
Từ hằng đẳng thức: \(\left(a+b\right)^2=a^2+2ab+b\) ta có:
\(VP=\dfrac{\left(a+2011b\right)^2}{\left(b+2011c\right)^2}=\dfrac{a^2+2.2011ab+\left(2011b\right)^2}{b^2+2.2011bc+\left(2011c\right)^2}\)
\(=\dfrac{a^2+2.2011ab+2011^2ac}{ac+2.2011bc+2011^2c^2}\)
\(=\dfrac{a\left(a+2.2011b+2011^2c\right)}{c\left(a+2.2011b+2011^2c\right)}=\dfrac{a}{c}=VT\)
Vậy \(\dfrac{a}{c}=\dfrac{\left(a+2011b\right)^2}{\left(b+2011c\right)^2}\) (Đpcm)