Question

[Thư Nguyễn Nguyễn]

Chứng minh rằng đa thức sau không có nghiệm với mọi giá trị của x :

\(f\left(x\right)=x^{2016}-x^{2015}+x^2-x+1\)

Answer 1

[soyeon_Tiểubàng giải]

+ Nếu \(x\ge1\) thì \(x^{2016}\ge x^{2015};x^2\ge x\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^{2016}-x^{2015}+x^2-x+1\ge1\) \(\forall x\ge1\)

=> f(x) vô nghiệm

+ Nếu \(x\le0\) thì \(-x^{2015}\ge0;-x\ge0\)

\(\Rightarrow f\left(x\right)=x^{2016}-x^{2015}+x^2-x+1\ge1\) \(\forall x\le0\)

=> f(x) vô nghiệm

+ Nếu 0 < x < 1, giả sử f(x) có nghiệm, ta có:

f(x) = x²⁰¹⁶ - x²⁰¹⁵ + x² - x + 1 = 0 (1)

=> x²⁰¹⁵ - x²⁰¹⁴ + x - 1 + \(\dfrac{1}{x}\) = 0 (2)

Cộng lần lượt 2 vế của (1) và (2) ta được:

\(x^{2016}-x^{2014}+x^2+\dfrac{1}{x}=0\)

\(\Rightarrow x^{2016}+x^2+\dfrac{1}{x}=x^{2014}\) (*)

Điều này vô lý vì với 0 < x < 1 ta luôn có: x² > x²⁰¹⁴

^{\(x^{2016}>0;\dfrac{1}{x}>0\)}

\(\Rightarrow x^{2016}+x^2+\dfrac{1}{x}>x^{2014}\)

Vậy ta có đpcm

Answer 2

[TRẦN MINH NGỌC]

Nếu 0<x<1 , giả sử f(x ) có nghiệm,ta có:

f(x) = x²⁰¹⁶ - x²⁰¹⁵ +x² - x + 1 = 0 (1)

f(x) = x ( x²⁰¹⁵ - x²⁰¹⁴) + x (x - 1) + 1 = 0

f(x ) = x(x²⁰¹⁵ - x²⁰¹⁴ +x - 1 ) + 1 = 0

=> \(\dfrac{x\left(x^{2015}-x^{2014}+x-1\right)+1}{x}=\dfrac{0}{x}\) =>(x²⁰¹⁵ - x²⁰¹⁴ + x - 1 + \(\dfrac{1}{x}\) = 0(2)

Từ (1) và (2) => (x²⁰¹⁶ - x²⁰¹⁵ + x² - x +1) + (x²⁰¹⁵ - x²⁰¹⁴ + x - 1 + \(\dfrac{1}{x}\)= 0 + 0 =0

=> x²⁰¹⁶ -(x²⁰¹⁵ - x²⁰¹⁵) - (x - x) + (1 - 1) +x² + \(\dfrac{1}{x}\) -x²⁰¹⁴ = 0

=> x²⁰¹⁶ +x² +\(\dfrac{1}{x}\) = x²⁰¹⁴

Vì 0<x<1 = > x thuộc R

=>\(\left\{{}\begin{matrix}x^2>x^{2014}\\x^{2016}>0\\\dfrac{1}{x}>0\end{matrix}\right.\) với mọi 0<x<1

(bạn thử ví dụ x = \(\dfrac{1}{2}\)=> x² = \(\dfrac{1}{4}\)>x²⁰¹⁴ = \(\dfrac{1}{2^{2014}}\)( vì mẫu số lớn thì phân số nhỏ))

=>x²⁰¹⁶ + x² + \(\dfrac{1}{x}\)> 0 + x²⁰¹⁴ + 0 = x²⁰¹⁴

=> x²⁰¹⁶ + x² + \(\dfrac{1}{x}\) - x ²⁰¹⁴ khác 0

=>.......