a, tìm tất cả các số tự nhiên N ( N # 0) sao cho 19n+7/7n+11 là số tự nhiên
b, với P là số nguyên tố lớn hơn 3
chứng tỏ : tích (P-1).(P+1) chia hết cho 24
help vs
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
GN
GV Nguyễn Trần Thành Đạt
Giáo viên
23 tháng 9 2023
\(a,Ư\left(70\right)=\left\{1;2;5;7;10;14;35;70\right\}\\ B\left(7\right)=\left\{0;7;14;21;28;35;42;49;56;63;72;81;90;99;....\right\}\\ \Rightarrow n\in\left\{7;14;35;70\right\}\\ b,Ư\left(225\right)=\left\{1;3;5;9;15;25;45;75;225\right\}\\ B\left(9\right)=\left\{0;9;18;27;36;45;54;63;72;81;...;216;225;234;243;...\right\}\\ \Rightarrow n\in\left\{9;45;225\right\}\)
CG
0
TQ
1
10 tháng 12 2021
Giả sử \(A=n^2+4n+11\) là số chính phương
đặt \(n^2+4n+11=k^2>0\)
\(\Rightarrow\left(n^2+4n+4\right)+7=k^2\\ \Rightarrow\left(n+2\right)^2-k^2=-7\\ \Rightarrow\left(n-k+2\right)\left(n+k+2\right)=-7\)
Ta có n,k>0⇒n+k+2>0; n-k+2<n+k+2; n-k+2,n+k+2∈Ư(-7)
Ta có bảng:
| n-k+2 | -1 | -7 |
| n+k+2 | 7 | 1 |
| n | 1 | -5(loại) |
| k | 4 | 4 |
Vậy n=1
PP
0
TL
0
DX
1
NT
Nguyễn Thị Thương Hoài
Giáo viên
VIP
26 tháng 10 2023
Vì số tự nhiên cần tìm có đúng 4 ước là
1; a; b; n và n + 1 = 4.( a + b)
Nên n là ước lớn nhất vì vậy n là chính số cần tìm
Vì số ước số của n là 4 và a; b là 2 ước của n nên n = a.b ( a; b \(\in\) P)
Theo bài ra ta có: a.b + 1 = 4.(a + b) ⇒ a.b + 1 = 4.a + 4.b
⇒ a.b - 4a = 4b - 1 ⇒ a.(b - 4) = 4b - 1 ⇒ a = \(\dfrac{4b-1}{b-4}\) ⇒ a = 4 + \(\dfrac{15}{b-4}\)
Vì a \(\in\) P nên b - 4 \(\in\) Ư(15)
Lập bảng ta có:
| b - 4 | -15 | -5 | -3 | -1 | 1 | 3 | 5 | 15 |
| b | -11 (loại) |
-1(loại) |
1 | 3 | 5 | 7 | 9 loại | 19 |
| a = 4 + \(\dfrac{15}{b-4}\) | -1 loại | -11 loại | 19 | 9 loại | 5 |
Theo bảng trên ta có a = 5; b = 19 \(\Rightarrow\) n = 5.19 = 95
Vậy các số tự nhiên thỏa mãn đề bài là 95.
Ghi chú thử lại ta có: 95 = 5.19
Ư(95) = 1; 5; 19; 95 (đúng 4 ước ok)
95 + 1 = 96 = 4.( 5 + 19) (ok)
Tham khảo: Cho p là số nguyên tố lớn hơn 3. CMR (p – 1)(p + 1) chia hết cho 24
a) Đặt phân số trên là M
Để M là số tự nhiên thì
19n+7 chia hết cho 7n+11
<=>7(19n+7)-19(7n+11) chia hết cho 7n+11
<=>133n+49-133n-209 chia hết cho 7n+11
<=>-160 chia hết cho 7n+11
\(\Leftrightarrow7n+11\in\left\{1;2;4;5;8;10;16;20;32;40;80;160;-1;-2;-4;-5;-8;-10;-16;-20;-32;-40;-80;-160\right\}\)
Mà n là số tự nhiên
=> 7n+11\(\ge\)11
Vậy các giá trị của 7n+11 là 16;20;32;48;80;160
Mặt khác 7n+11 chia 7 dư 4
=> Các giá trị 16;20;48;80;160 bị loại vì chia 7 có số dư \(\ne\)4
=> 7n+11=32
=>n=3
Vậy khi n=3 thì M=2
b) P là số nguyên tố lớn hơn 3
=> P không chia hết cho 2 cho 3
Ta có :P không chia hết cho 2
=> P-1 và P+1 là 2 số chẵn liên tiếp => (P-1)(P+1) chia hết cho 8 (1)
Mặt khác vì P không chia hết cho 3
=>p=3k+1 hoặc 3k+2
Nếu P= 3k +1
=>P-1 =3k +0chia hết cho 3 => (P-1)(P+1) chia hết cho 3
Nếu P= 3k+2
=> P+1=3k +3 chia hết cho 3 => (P-1)(P+1) chia hết cho 3
=> Với mọi p là só nguyên tố lớn hơn 3 thì (p+1)(p-1) chia hết cho 3 (2)
Từ (1)(2)=>(P-1)(P+1) chia hết cho 8 và 3
Mà (8;3)=1
=>(P-1)(P+1) chia hết cho 8x3=24 (đpcm)