CMR với mọi m,n ∈ N* thoả mãn (2'm-1,2'n-1) =1 thì (m,n)=1
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
QN
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
26 tháng 6 2021
Lời giải:
Gọi $d$ là ƯCLN của $m$ và $n$. Khi đó:
$m=dx; n=dy$ với $x,y$ là 2 số nguyên dương nguyên tố cùng nhau.
\(2^m-1=2^{dx}-1=(2^d)^x-1\vdots 2^d-1\)
\(2^n-1=2^{dy}-1=(2^d)^y-1\vdots 2^d-1\)
Vì $(2^m-1, 2^n-1)=1$ nên $2^d-1=1$
$\Rightarrow d=1$
Tức là $(m,n)=1$
NT
1
5 tháng 5 2018
\(\dfrac{a^2}{2}+b^2+2\ge b\left(a+2\right)\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{a^2+2b^2+4}{2}\ge\dfrac{2ab+4b}{2}\)
\(\Leftrightarrow a^2+2b^2+4\ge2ab+4b\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-4b+4\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-2\right)^2\ge0\)(luôn đúng)
Dấu "=" xảy ra khi a - b = 0 và b - 2 = 0 hay a = b = 2
Vậy \(\dfrac{a^2}{2}+b^2+2\ge b\left(a+2\right)\forall a,b\in Z.\)
11 tháng 11 2021
\(\sqrt{3}-\dfrac{m}{n}>0\Leftrightarrow\sqrt{3}>\dfrac{m}{n}\Leftrightarrow3n^2>m^2\)
Vì \(m,n\ge1\) nên \(3n^2\ge m^2+1\)
Với \(3n^2=m^2+1\Leftrightarrow m^2+1⋮3\Leftrightarrow m^2\) chia 3 dư 2 (vô lí)
\(\Leftrightarrow3n^2\ge m^2+2\)
Lại có \(4m^2>1\Leftrightarrow\left(m+\dfrac{1}{2m}\right)^2=m^2+1+\dfrac{1}{4m^2}< m^2+2\)
\(\Leftrightarrow\left(m+\dfrac{1}{2m}\right)^2< 3n^2\Leftrightarrow m+\dfrac{1}{2m}< n\sqrt{3}\\ \Leftrightarrow n\sqrt{3}-m>\dfrac{1}{2m}\)
NB
0
NV
Nguyễn Việt Lâm
Giáo viên
4 tháng 4 2021
\(ac=-3< 0\Rightarrow\) pt đã cho luôn có 2 nghiệm pb trái dấu với mọi m
Theo hệ thức Viet: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2\left(m-1\right)\\x_1x_2=-3\end{matrix}\right.\)
\(\dfrac{x_1}{x_2^2}+\dfrac{x_2}{x_1^2}=m-1\Leftrightarrow\dfrac{x_1^3+x_2^3}{\left(x_1x_2\right)^2}=m-1\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{\left(x_1+x_2\right)^3-3x_1x_2\left(x_1+x_2\right)}{9}=m-1\)
\(\Leftrightarrow8\left(m-1\right)^3+18\left(m-1\right)=9\left(m-1\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(m-1\right)\left[8\left(m-1\right)^2+9\right]=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=1\\8\left(m-1\right)^2+9=0\left(vô-nghiệm\right)\end{matrix}\right.\)