Question

[Truong_tien_phuong]

Cho tam giác ABC với BM là tia phân giác của \(\widehat{ABC}\); CN là tia phân giác của \(\widehat{ACB}\)\(\left(M\in AC;N\in AB\right)\)và BM = CN.

Chứng minh rằng: Tam giác ABC cân

Answer 1

[Nguyễn Tất Đạt]

Không mất tính tổng quát; giả sử ^ABC > ^ACB

Dựng K là đỉnh thứ tư của hình bình hành BMKN => ^NBM = ^NKM = ^CBM (1)

Khi đó: ^ABC > ^ACB => 1/2.^ABC > 1/2.^ACB => ^CBM > ^BCN = ^NCM  (2)

Từ (1) và (2) => ^NKM > ^NCM  (*)

Xét \(\Delta\)CMB và \(\Delta\)BNC có: Cạnh BC chung; ^CBM > ^BCN (cmt); BM = CN => CM > BN (3)

Ta có: Tứ giác BMKN là hình bình hành => BN = MK (4)

Từ (3) và (4) => CM > MK

Trong \(\Delta\)CKM có: CM > MK (cmt) => ^MKC > ^MCK (**)

Từ (*) và (**) => ^NKM + ^MKC > ^NCM + ^MCK => ^NKC > ^NCK 

Xét \(\Delta\)CNK có: ^NKC > ^NCK => CN > NK. Mà NK = BM (Do tứ giác BMKN là hbh) 

Nên CN > BM. Lại có: CN = BM (theo gt)  ---> Mâu thuẫn ---> Giả sử sai

Tiếp theo bn giả sử ^ABC < ^ACB; c/m tương tự rồi chỉ ra nó vô lí

Từ đó suy ra: ^ABC = ^ACB => \(\Delta\)ABC cân tại A (đpcm).