Cho a\(\ge\)3; b\(\ge\)4; c\(\ge\)2. Tìm giá trị lớn nhất của bểu thức A=\(\dfrac{ab\sqrt{c-2}+bc\sqrt{a-3}+ca\sqrt{b-4}}{abc}\)
K
Khách
Hãy nhập câu hỏi của bạn vào đây, nếu là tài khoản VIP, bạn sẽ được ưu tiên trả lời.
Những câu hỏi liên quan
NT
0
BF
2
16 tháng 7 2018
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
\(a^3b^2-a^2b^3+b^3c^2-c^3b^2+c^3a^2-c^2a^3\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-b+b-a\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2b^2\left(a-b\right)+c^2a^2\left(b-a\right)+b^2c^2\left(b-c\right)+c^2a^2\left(c-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b^2-c^2a^2\right)\left(a-b\right)+\left(b^2c^2-c^2a^2\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^2\left(b^2-c^2\right)\left(a-b\right)+c^2\left(b^2-a^2\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[a^2\left(b+c\right)-c^2\left(a+b\right)\right]\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a^2b+a^2c-c^2a-c^2b\right)\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left[a\left(ab-c^2\right)+c\left(a^2-bc\right)\right]\left(a-b\right)\left(b-c\right)\ge0\) luôn đúng do \(a\ge b\ge c\ge0\)
BF
16 tháng 7 2018
cảm ơn bạn nhá, bạn trả lời giúp mình mấy câu hỏi về BĐT còn lại của mik đc ko? cảm ơn bn nhiều!
6 tháng 5 2022
Xét \(\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}-\dfrac{2}{5}=\dfrac{a}{a^2+1}+\dfrac{3a-16}{25}=\dfrac{\left(3a-4\right)\left(a-2\right)^2}{25\left(a^2+1\right)}\ge0\)
\(\Rightarrow\dfrac{a}{a^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)}{25}\)
CMTT \(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{b}{b^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(b-2\right)}{25}\\\dfrac{c}{c^2+1}\ge\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(c-2\right)}{25}\end{matrix}\right.\)
Cộng vế theo vế:
\(\Rightarrow VT\ge\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}+\dfrac{2}{5}-\dfrac{3\left(a-2\right)+3\left(b-2\right)+3\left(c-2\right)}{25}\ge\dfrac{6}{5}-\dfrac{3\left(a+b+c-6\right)}{25}=\dfrac{6}{5}\)
Dấu \("="\Leftrightarrow a=b=c=2\)
BB
1
AH
Akai Haruma
Giáo viên
27 tháng 6 2019
Lời giải:
Sửa lại đề. Cho $a+b\geq 0$. CMR \(\frac{a+b}{2}\leq \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}\)
Ta có:
\(a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)(1)\)
\(a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab\)
\((a-b)^2\geq 0\Rightarrow a^2+b^2\geq 2ab\Rightarrow (a+b)^2\geq 4ab\Rightarrow \frac{3}{4}(a+b)^2\geq 3ab\)
\(\Rightarrow a^2-ab+b^2=(a+b)^2-3ab\geq (a+b)^2-\frac{3}{4}(a+b)^2=\frac{(a+b)^2}{4}(2)\)
Từ \((1);(2)\Rightarrow a^3+b^3\geq (a+b).\frac{(a+b)^2}{4}\)
\(\Rightarrow \frac{a^3+b^3}{2}\geq \frac{(a+b)^3}{8}\Rightarrow \sqrt[3]{\frac{a^3+b^3}{2}}\geq \frac{a+b}{2}\) (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b\geq 0$
LT
1
I
29 tháng 3 2020
ta có \(a\ge b\ge c\)
zì \(c\le b\)nên \(\left(a+b+c\right)^2\le\left(a+2b\right)^2\)
do zậy ta chỉ cần chứng minh \(9ab\ge\left(a+2b\right)^2\)
tương đương zới \(a^2-5ab+4b^2\le0\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(a-4b\right)\le0\)
zì \(a\ge b\)zà theo bất đẳng thức tam giác có \(a< b+c\le2b\le4b\)nên điều trên luôn đúng
zậy bất đẳng thức đc CM . dấu "=" xảy ra khi zà chỉ khi a=b=c hay tam giác ABC đều
LT
1
7 tháng 6 2017
Vì \(a\ge b\ge c\ge1\) ta có bổ đề
\(\frac{1}{1+x^2}+\frac{1}{1+y^2}\ge\frac{2}{1+xy}\)
Lợi dụng cái trên ta được
\(\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}+\frac{1}{1+abc}\)
\(\ge\frac{2}{1+\sqrt{a^3b^3}}+\frac{2}{1+\sqrt{abc^4}}\ge\frac{4}{1+\sqrt[4]{a^4b^4c^4}}=\frac{4}{1+abc}\)
PS: Đề sai nên t sửa luôn đề rồi nhé
\(\Rightarrow\frac{1}{1+a^3}+\frac{1}{1+b^3}+\frac{1}{1+c^3}\ge\frac{3}{1+abc}\)
DN
6 tháng 3 2018
Ta có:
\(\frac{a^3b}{a^3+b^3}-\frac{ab^3}{a^3+b^3}=\frac{ab\left(a^2-b^2\right)}{a^3+b^3}=\frac{ab\left(a-b\right)}{a^2-ab+b^2}=\frac{a-b}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-1}\ge\frac{a-b}{\frac{a}{b}+\frac{a}{a}-1}=\frac{b\left(a-b\right)}{a}\)
\(\frac{b^3c}{b^3+c^3}-\frac{bc^3}{b^3+c^3}=\frac{bc\left(b^2-c^2\right)}{b^3+c^3}=\frac{bc\left(b-c\right)}{b^2-bc+c^2}=\frac{b-c}{\frac{b}{c}+\frac{c}{b}-1}\ge\frac{b-c}{\frac{a}{c}+\frac{b}{b}-1}=\frac{c\left(b-c\right)}{a}\)
\(\frac{c^3a}{c^3+a^3}-\frac{ca^3}{c^3+a^3}=\frac{ca\left(c^2-a^2\right)}{c^3+a^3}=\frac{ca\left(c-a\right)}{c^2-ca+a^2}=\frac{c-a}{\frac{c}{a}+\frac{a}{c}-1}\ge\frac{c-a}{\frac{a}{c}+\frac{a}{a}-1}=\frac{c\left(c-a\right)}{a}\)
\(\Rightarrow\frac{a^3b}{a^3+b^3}-\frac{ab^3}{a^3+b^3}+\frac{b^3c}{b^3+c^3}-\frac{bc^3}{b^3+c^3}+\frac{c^3a}{c^3+a^3}-\frac{ca^3}{c^3+a^3}\ge\frac{b\left(a-b\right)+c\left(c-a\right)+c\left(b-c\right)}{a}=\frac{ab-b^2-ac+bc}{a}=\frac{\left(a-b\right)\left(b-c\right)}{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3b}{a^3+b^3}+\frac{b^3c}{b^3+c^3}+\frac{c^3a}{c^3+a^3}\ge\frac{ab^3}{a^3+b^3}+\frac{bc^3}{b^3+c^3}+\frac{ca^3}{c^3+a^3}\left(đpcm\right)\)
27 tháng 8 2017
<=>\(a^2\left(a-b\right)-b^2\left(a-b\right)\)>=0
<=>\(\left(a-b\right)\left(a^2-b^2\right)\)>=0
<=>\(\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\)>=0
Vì \(\left(a-b\right)^2\)>=0
<=>\(\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\)>=0 (đpcm)
TA
27 tháng 8 2017
Vì \(a,b\ge0\)nên
+ \(a+b\ge0\)(1)
+ \(\left(a-b\right)^2\ge0\)(2)
Nhân vế với vế của 1 và 2 , ta được :
\(\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab-ab+b^2\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab.\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3\ge a^2b+ab^2\)
16 tháng 6 2021
\(M=A+B=\dfrac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}+\dfrac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{\sqrt{x}+2\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}=\dfrac{3\sqrt{x}}{\sqrt{x}+3}\left(x\ge0\right)\)
16 tháng 6 2021
`M=A+B`
`=sqrtx/(sqrtx+3)+(2sqrtx)/(sqrtx+3)`
`=(sqrtx+2sqrtx)/(sqrtx+3)`
`=(3sqrtx)/(sqrtx+3)`
15 tháng 12 2018
Theo cách lớp 8 :vvv
Câu a : \(\dfrac{a^2+b^2}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^2\)
\(\Leftrightarrow4a^2+4b^2\ge2a^2+2b^2+4ab\)
\(\Leftrightarrow2\left(a-b\right)^2\ge0\) ( Đúng )
Dấu \("="\)xảy ra khi \(a=b\)
Câu b : \(\dfrac{a^3+b^3}{2}\ge\left(\dfrac{a+b}{2}\right)^3\)
\(\Leftrightarrow8a^3+8b^3\ge2a^3+2b^3+6a^2b+6ab^2\)
\(\Leftrightarrow6a^3-6a^2b+6b^3-6b^2a\ge0\)
\(\Leftrightarrow6a^2\left(a-b\right)-6b^2\left(a-b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow6\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\) ( Đúng )
Dấu \("="\) xảy ra khi \(\left[{}\begin{matrix}a=b\\a=-b\end{matrix}\right.\)
Câu hỏi của lê thị tiều thư - Toán lớp 9 | Học trực tuyến